PDF-версии: 
3В. Даны функции 
и 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) Пусть 
Решите неравенство 
в) Наудачу выбирают целое a такое, что 
Определите вероятность того, что функция 
определена при всех целых x.
г) Найдите все значения a такие, что уравнения 
и 
равносильны.
Решение. Преобразуем исходные функции:
а) Запишем уравнение в виде
то есть 
Получаем 
б) Запишем неравенство в виде
Ясно что Далее, 
подходит, но при 
левая часть не определена. Наконец при 
обе части определены и неотрицательны и можно возвести неравенство в квадрат
Окончательно, 
в) Всего есть 9 подходящих в неравенство положительных чисел, столько же отрицательных и еще ноль, итого 19 вариантов. Функция 
определена всюду, кроме интервала с концами в точках 1 и 
Поэтому нужно, чтобы на этом интервале не было целых точек. Это верно при 
и 
поэтому «хороших» вариантов всего 2. Значит, вероятность равна 
г) Уравнения равносильны, если у них совпадают множества корней. Заметим сразу, что уравнение 
(то есть 
) при любом a имеет корень 
значит, и уравнение 
должно иметь корень 
Подставим его
При 
первое уравнение принимает вид и второе тоже, поэтому они равносильны.
При 
первое уравнение принимает вид 
а второе вид 
Второе уравнение мы уже решали в пункте а, у него есть только корень
Первое же после возведения в квадрат дает
Так как 
то 
не является решением , значит, такое a тоже подходит.
Ответ: или 
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
или а) б) в) г) или а) б) в) г)