PDF-версии: 
3А. Рассматривается множество D комплексных чисел, задаваемое неравенством 
а) Изобразите на чертеже множество D.
б) Найдите все корни уравнения 
принадлежащие множеству D.
в) Изобразите на чертеже множество M всех чисел u таких, что 
где 
г) Найдите все пары чисел 
таких, что 
Решение. а) Искомое неравенство означает, что расстояние от z до 
не больше 1 и задает круг с центром в точке 
радиуса 1.
б) Решим уравнение:
Ясно, что точка 
лежит ниже вещественной оси и в круг не попадает, а точка 
лежит в D, поскольку
Так что эта точка лежит на границе круга.
в) Заметим, что
а модуль удваивается. Значит, вся картинка поворачивается на 
против часовой стрелки и затем «раздувается» в два раза от начала координат (такое преобразование называется «поворотная гомотетия»). Ясно, что при этом получается круг радиуса 2, осталось лишь найти его центр. Поскольку центр D это точка
г) Поскольку множество M симметрично относительно вертикальной оси, можно просто выяснить точки, подходящие в условие 
а потом еще взять симметричные точки в M — для них дробь 
просто изменит знак и они тоже подойдут в исходное уравнение.
Если 
то 
тем самым вопрос свелся к такому — какие прямые, проходящие через начало координат (с уравнением 
) пересекают оба круга и в каких точках?
Мы уже знаем, что угол между прямой, проходящей через начало координат и центр D и касательной к D равен 
Поэтому если провести обе касательные из начала координат, угол между ними составит 
При преобразованиях, давших круг M, этот угол не меняется. Поэтому прямая, проходящая под углом через начало координат касается обеих окружностей. Поскольку они лежат по разные стороны от нее и при этом внутри угла, меньшего 
с вершиной в начале координат, она и будет единственной прямой, пересекающей обе окружности.
Найдем теперь точки касания ее с окружностями. Точка ее касания с M получена с помощью поворотной гомотетии из точки 
поэтому равна 
Точка касания ее с окружностью D очевидно расположена вдвое ближе к началу координат, так что это 
Окончательно: 
Ответ: а) см. рис.; б) 
в) см. рис.; г) 
и 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) см. рис.; г) и в) см. рис.; г) и