PDF-версии: 
3Б. Дана функция 
а) Постройте график функции 
б) Найдите значение 
в) Напишите уравнение прямой l, касающейся графика функции 
в двух различных точках.
г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой l.
Решение. а) При
— парабола с вершиной при 
(эта точка не лежит в области и на графике не появится).
При 
— парабола с вершиной при 
При 
можно пользоваться любой из формул, 
Теперь можно построить график.
б) Имеем:
Первый интеграл дает: 
Второй посчитаем из геометрических соображений. Площадь под графиком 
на отрезке от 3 до 5 состоит из площадей двух равнобедренных прямоугольных треугольников с катетом 1, поэтому
в) Поскольку прямая не может касаться параболы в двух точках, она должна касаться каждой из двух парабол. Пусть ее уравнение 
тогда уравнения 
и 
должны иметь по одному корню. Значит, дискриминанты уравнений 
и 
должны быть нулями. Получаем:
Вычитая уравнения друг из друга, получим 
Тогда из первого уравнения,
Найдем точки касания, чтобы убедиться. что прямая касается нужных частей парабол. Первое уравнение превратится в 
и имеет корень 
Второе уравнение превратится в 
и имеет корень 
г) Ясно, что график функции проходит выше касательной. Значит,
Ответ: а) см. рис.; б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) г) в) г)