PDF-версии: 
1. Дана функция 
а) Изобразите на плоскости множество точек, координаты (x, y) которых удовлетворяют системе
б) Докажите, что если 
то 
в) Найдите все значения c, при которых система
имеет решение.
г) Пусть S площадь части третьего квадранта, состоящей из точек, координаты (x, y) которых удовлетворяют неравенству 
Докажите, что 
Решение. а) Второе уравнение задает прямую 
Первое неравенство после подстановки можно переписать в виде
Обозначая 
получим неравенство
Домножая на 
получим
Итак, множество это отрезок с концами в точках 
и 
б) По условию 
По неравенству о средних для двух чисел получим
Значит, 
откуда
в) Поскольку x и y входят в уравнения симметрично, можно считать, что 
откуда 
Тогда
Преобразуем уравнение:
эта функция определена. Тогда 
Докажем, что эта функция возрастает при Возьмем ее производную:
Поскольку 
и 
можно оценить это выражение
Итак, производная положительна, поэтому функция возрастает, причем
при 
Значит, она принимает все значения от 
до 
Получаем ответ 
г) Аналогично предыдущему пункту, перепишем условие 
в виде
Найдем точку пересечения графика с горизонтальной осью:
Докажем, что функция 
выпукла вниз. Имеем:
и 
имеем 
Значит, знаменатель возрастает и производная соответственно. Поэтому вторая производная будет положительна, что и требовалось доказать.
В таком случае график функции находится ниже любой своей хорды. Отметим на графике точку, в которой 
и соединим ее с точками пересечения с осями координат. Тогда внутри области образуется четырехугольник, разбитый на два треугольника. У каждого из них основание равно
а высота равна 
значит, их суммарная площадь равна
Значит, площадь области больше.
Ответ: