PDF-версии: Решите уравнение 
Решение. Следствием исходного уравнения является уравнение
Сделаем проверку корней. При 
равенство 
ложно, т. е. не удовлетворяет исходному уравнению. При x = 5 равенство 
истинно.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
принадлежащие отрезку ![[ минус Пи ;2 Пи ].](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/c5/c5b8b84d53d7f25995248cbf466b2c3f.svg)
где 
При k = −1, то 
при k = 0, то 
при k = 1, то 
Все эти значения x лежат на отрезке ![[ минус Пи ; 2 Пи ].](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/55/552bf248b8bd860532413a736f7b642a.svg)
При 
то 
при 
то 
и поэтому другие корни уравнения 
не лежат на указанном отрезке.
где 
Разберем две серии решений: 
где 
(1), и 
где 
(2). 
имеем 
при 
получаем 
Эти решения лежат на отрезке 
выполняется 
находим 
Таким образом, из серии (1) только два корня 
и 
лежат на отрезке 
а при m = 1 видим, что 
Эти решения лежат на указанном отрезке. При 
имеем 
при 
получаем 
в точке ее максимума
Функция определена и дифференцируема на ℝ:
Легко вычислить, что 
и 
Отсюда следует (см. рис.), что х = 0 — точка максимума исходной функции. Очевидно, касательная, проведенная в точке с абсциссой x0, если x0 — точка экстремума функции, имеет вид 
В данном случае 
т. е. у = 2 — уравнение касательной.
и 
или 
Отсюда видно, что 
т. е. вторая линия находится во второй и третьей четвертях и представляет собой параболу 
(здесь y — независимая переменная). На рисунке фигура, ограниченная данными линиями, заштрихована. Она находится во второй четверти (это можно показать и аналитически). Тогда, поскольку при ![x принадлежит [ минус 1; 0]](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/aa/aae86e4fba06be7443c415abc53cbc44.svg)
выполняется неравенство 
и 
на промежутке ![[0; 1],](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/d6/d632b1c928f39cae2dbb5a597431ad13.svg)
так как на этом множестве 
то
имеет два различных решения?
и 
Очевидно, что, если t — положительный корень уравнения (Б), то x = t и 
два различных корня уравнения (А). Таким образом, надо рассмотреть совокупность уравнений 
равносильную уравнению (А). Эта совокупность имеет ровно два решения в трех случаях.
и 
и 
Приведенная система является достаточным условием для того, чтобы уравнение (Б) имело положительный и отрицательный корни. Этот вывод легко подтвердить геометрическими соображениями. В самом деле, условие 
означает, что уравнение (Б) имеет два различных корня, а условие 
— что значение квадратного трехчлена, стоящего в левой части уравнения (Б), отрицательно при t = 0. Из того, что ветви соответствующей параболы направлены вверх, следует: данный квадратный трехчлен имеет корни разного знака.
Заметим, что если бы в данной системе вместо второго неравенства фигурировало условие 
то тем самым положительные корни уже не были бы гарантированы.
первую систему перепишем так:
После выполнения преобразований, аналогичных приведенным в 1 способе, получим совокупность уравнений 
Последовательное рассмотрение этой совокупности приводит к следующим результатам. При выполнении условий 
и 
т. е. при 
решений нет; при b = 0 получаем единственный корень x = 0; при 
или при b = 1 имеем два корня 
и 
при 
получаются три корня 
и 
при 
или при 
— четыре корня 
и 