Какие целые значения принимает функция
на промежутке ![[ минус 0,5 ; 0]?](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/9b/9bd9201d5fbbb1cb2cba42b1dd425808.svg)
Решение. 1 способ. Заданная функция непрерывна на промежутке
Найдя наибольшее и наименьшее значение функции на этом промежутке (рассмотрев при этом и точку − 0,5), можно будет ответить на вопрос задачи. Заданная функция дифференцируема при 

Производная равна 0, если

Тогда
— единственная критическая точка на рассматриваемом промежутке. Поскольку
а
то x0 — точка максимума. Наибольшее значение функции y(x) достигается в точке
и равно

Наименьшее значение функции y(x) на промежутке
равна нулю. Действительно
а для всех x из рассматриваемого промежутка 

Поскольку и
наименьшее значение заданной функции на всем промежутке
равна нулю. Таким образом, на рассматриваемом промежутке функция принимает все действительные значения от 0 до
включительно; среди них — два целых: 0 и 1.
Ответ: 0 и 1.
Замечание.
Некоторым читателям такое решение наверняка покажется «корявым». Здесь необходимо сделать ряд замечаний.
1) Использовать стандартный алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, здесь нельзя (функция не является непрерывной в точке x = − 0,5).
2) Учащиеся, знакомые со свойством односторонней непрерывности в точке (этот материал отсутствует в учебнике), смогут привести задачу к виду, когда использование вышеупомянутого алгоритма допустимо (функция непрерывна на (−0,5; 0] и непрерывна справа в −0,5).
3) Можно использовать стандартный алгоритм для функции
непрерывной, но недифференцируемой в точке − 0,5 и совпадающей с исходной при 
2 способ. По условию должно выполняться равенство
Обозначим
откуда
Если
то t может принимать любые значения из промежутка [0 ; 1]. Задача сводится к определению всех целых значений, которые может принимать функция
на промежутке [0 ;1]. Функция φ(t) непрерывна и дифференцируема во всех точка промежутка [0 ;1]
Единственная критическая точка функции φ(t) на [0 ;1] определяется из условия

где 
Поскольку наибольшее и наименьшее значения на отрезке непрерывная функция может принимать либо на концах отрезка, либо в своих критических точках, лежащих на отрезке, то
![\underset[0;1]\mathop\min \varphi(t)=\varphi(0)=\varphi(1)=0,](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/56/564dbc7bca19a00961d8ab382e0f807a.svg)
![\underset[0;1]\mathop\max \varphi(t)= \varphi левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби = корень из 3 .](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/df/df0c02ab9f10eddeacc14769e08fff83.svg)
Отсюда следует, что φ(t) на промежутке [0 ;1] принимает два целых значения: 0 и 1. Таким образом, функция
на промежутке
принимает два целых значения: 0 и 1.
Критерии проверки: За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 0 и 1.
Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1993 год, работа 1, вариант 1
Сложность: 5 из 10