Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
и касательными к нему, проходящими через точку 
Решение.
График данной функции представляет собой части двух парабол:
при
и
при
Найдем касательные отдельно к каждой параболе. Любая прямая, кроме вертикальной, проходящая через точку
может быть задана уравнением
причем

Итак, уравнение этой прямой имеет вид

При этом она имеет единственную общую точку с параболой

То есть уравнение

имеет единственный корень. То есть уравнение

имеет нулевой дискриминант. Получаем:

Абсциссу точки касания, тот самый единственный корень уравнения, можно найти по формуле

В первом случае

а во втором

поэтому прямая касается параболы в той части, где она не представляет график исходной функции. Эта касательная в дальнейшем не нужна.
Найдем касательную к другой половине графика. Она имеет единственную общую точку с параболой
То есть уравнение

имеет единственный корень. То есть уравнение

имеет нулевой дискриминант. Получаем:

Абсциссу точки касания, тот самый единственный корень уравнения, можно найти по формуле

В первом случае

а во втором

поэтому прямая касается параболы в той части, где она не представляет график исходной функции. Эта касательная в дальнейшем не нужна.
Итак, область ограничена сверху графиком исходной функции, а снизу прямыми


Эти прямые пересекают ось абсцисс в точках

и

соответственно. Ниже оси, следовательно, расположен треугольник высотой

и основанием

поэтому его площадь составляет

Опустим перпендикуляр на ось абсцисс из точки
От этого треугольника отсечется прямоугольный треугольник площадью 
Теперь осталось только найти площадь над графиком исходной функции и вычесть ее площадь и площадь прямоугольного треугольника из площади большого треугольника.

Ответ: 
Критерии проверки: За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 
Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1999 год, работа 1, вариант 2
Сложность: 7 из 10