PDF-версии: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
Решение. Построим график функции
Производная этой функции 
Корни производной x = 0 и 
Найдём значение функции в этих точках: 
Функция f(x) возрастает на каждом луче 
и 
Поэтому точки x = 0 и 
являютося точками локального максимума и минимума соответственно.
Графики данных функций имеют общую точку при x = 0 Найдём абсциссы других общих точек. Решим уравнение
Других общих точек нет. Фигура, площадь которой требуется найти заштрихована. Абсциссы внутренних и граничных точек фигуры принадлежат отрезку [−3; 0], на котором 
поэтому площадь фигуры равна
Приведём другое решение
Найдём общие точки графиков данных функций, для чего решим уравнение
Графики имеют две общие точки M(0, 1) и N(−3, −17). Так как эти функции неприрывны на 
то площадь может быть найдена по формуле
где x1 и x2 — абсциссы двух общих точек функции y1 и y2, причём других общих точек нет. В нашем случае
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при которых 
Пусть a = u + v, а b = uv, тогда получим
положителен при 
отрицателен при 
Поскольку 
и 
мы получаем, что решениями исходного неравенства являются значения из множества ![( минус принадлежит fty ;3 минус корень из 2]\cup [3 плюс корень из 2;6].](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/4f/4f3a3c62f7834452c923dcb72b62c068.svg)
![( минус принадлежит fty ;3 минус корень из 2]\cup [3 плюс корень из 2;6].](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/d6/d6a198e7eaac653f644c8cfb6fb30f88.svg)
то есть 
обращается в нуль 
Решим вспомогательное уравнение
знаки функций 
меняются. Поскольку 
и 
мы получаем расстановку знаков на соответствующих промежутках (см. рисунок).
так как при 
решений нет. Если 
то 
и 
Поэтому достаточно решить уравнение 
Мы получаем, что исходное уравнение равносильно системе
поэтому при 
это уравнение не имеет решений. Наименьшее по модулю решение уравнения 
удовлетворяет условию 
Поскольку 
то 
а значит 
и выполняется условие 
Остальные решения уравнения 
можно записать в виде двух серий
и поскольку 
то для любого числа x серии (5) 
При 
и для серии (6) 
То есть для каждого из решений (5), (6) уравнения (2) не выполняется условие (4). Таким образом, мы получаем, что исходное уравнение имеет единственное решение 
найдется решение 
с аргументом 
равен 
поэтому аргумент числа 
равен 
для любого a>0. (Перебирая все положительные числа a, мы получим все комплексные числа 
с аргументом 
то, поскольку 
). В итоге мы получаем, что искомое множество чисел с на комплексной плоскости — это та часть параболы (графика квадратичной функции 
), которая лежит строго в правой полуплоскости (точка 
множеству не принадлежит). Построение графика функции не вызывает затруднений (см. рис.).
проведенные через точку оси Oy с ординатой a, высекают на оси Ox отрезок длины 4.
— искомая точка на оси Oy, 
Отыщем точку 
на графике функции, являющаяся точкой касания графика и касательной. Производная функции 
Уравнение касательной PQ есть 
Поскольку точка Q принадлежит касательной, то 
через a, получим
и мы получаем абсциссы двух точек касания 
а его длина есть
гиперболам 
и к некоторым другим кривым можно, как правило, обойтись вообще без производных. Для таких кривых корректно другое определение касательной: прямая вида 
(для гиперболы 
), имеющая с данной кривой единственную общую точку, называемую точкой касания.
Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение 
(критерий единственности решения)
По теореме Виета 
поэтому 
и 
имеются две различные касательные к графику исходной функции, проходящие через точку 
определяемой из уравнения
уравнение касательной 
и 
Высекаемый на оси абсцисс отрезок имеет длину
откуда 
и уравнение касательной есть 
положительна при 
и 
Очевидно, что 
— квадратичная функция, с коэффициентом 1 при 
Отсюда следует, что 
С другой стороны 
следовательно, 
откуда получаем, что имеются две точки касания (K и L на рисунке 92). Их абсциссы 
касательные PK и PL пересекает ось Ox в точка M и N. Обозначим через 
углы PNM и PMN соответственно. Дальнейшие выкладки не требуют дополнительных комментариев. Имеем:
