Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции 
Решение. Начертим график функции. При
при 
(см. рис.). Таким образом, указанная фигура ограничена осью абсцисс и графиком функции на отрезке [0; 1).
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и прямой 
Есть ли среди них точки касания?
и составим уравнение для поиска абсцисс точек пересечения.
для каждой из найденных абсцисс точек пересечения. Производная 
В точке M1 
то есть значение производной равно угловому коэффициенту прямой 
— значение производной не равно угловому коэффициенту прямой 
и эта прямая пересекает график 
— точка касания.
(корень второй степени).
то первое слагаемое 
где 
тогда 
получаем:
и не удовлетворяет условию 
Остается корень 
отсюда
удовлетворяет исходной системе.
тогда
то 
(удовлетворяет условию (8)). Если же 
то 
(не удовлетворяет условию (8)). Таким образом, второе решение исходной системы 
Для этого рассмотрим функцию 
определенную и дифференцируемую на ℝ. Производная 
Отсюда следует, что неравенство 
или при 
то есть 
а областью определения функции y является множество 
найдется такое, что 
нет таких чисел z, для которых 
(модуль комплексного числа неотрицателен и не может быть меньше отрицательного числа). При a = 0 такое число одно: 
но 
(это нетрудно проверить). При 
таких чисел бесконечно много, они принадлежат замкнутому кругу на комплексной плоскости радиуса a с центром в точке (2; 2).
имеют аргумент 𝜑, для которого 
т. е. 
Они располагаются на прямых 
и 
круг не имеет ни с одной из указанных трех прямых общих точек (т. е. таких чисел z, для которых 
в круге нет).
в круге существует единственная точка z, для которой 
прямая 
имеет с кругом одну общую хорду, и, следовательно, существует более одного числа z, такого, что 
где x, y — действительные числа. Условие 
и поэтому записывается в виде 
условие 
записывается в виде 
Это уравнение распадается на три:
нетрудно видеть, что неравенство 
не имеет решений; при a = 2 имеет единственное решение, а при 
более одного решения (бесконечно много решений).
принимает следующий вид: 
то 
Отсюда следует, что при 
неравенство 
имеет единственное решение, а при 
приводим к виду:
Отсюда следует, что при 
неравенство 
не имеет решений; при 
имеется единственное решение, а при 
— бесконечно много решений.
получаем следующее:
совокупность 