Изобразите на чертеже множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию Среди этих точек найдите такие, для которых выполняется равенство
и запишите числа, соответствующие этим точкам, в тригонометрической форме.
Решение. Преобразуем уравнение
Это уравнение задает окружность с центром в нуле и радиусом 2. Условие означает, что точка z равноудалена от точек 0 и
поэтому лежит на серединном перпендикуляре к соединяющему их отрезку (то есть на горизонтальной прямой, проходящей через точку i). Значит, она имеет вид
где x вещественное и
откуда
То есть
подходящие точки имеют вид
откуда или
Ответ: см. рисунок.
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
---|---|
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |