Найдите наибольший возможный объём правильной треугольной пирамиды, вписанной в шар радиуса R.
Решение.
Обозначим ребро основания пирамиды за x, тогда сечение сферы плоскостью основания - описанная окружность правильного треугольника со стороной x, поэтому ее радиус равен 
Проведем диаметр сферы, перпендикулярный этой плоскости. Один из его концов — вершина пирамиды. Ясно, что больший объем получится, если выбирать более далекий от плоскости конец.
Пусть O — центр сферы, O1 — центр окружности, описанной около основания ABС. Тогда в прямоугольном треугольнике OO1C имеем

поэтому высота пирамиды равна
а ее объем равен

Осталось найти наибольшее значение этой функции. Возьмем производную. Множитель
не влияет на точку, где принимается наибольшее значение, его писать не будем. Получаем:


Найдем корни производной на отрезке ![x принадлежит [0;R корень из 3]:](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/4c/4c70775c7733ae0f043d66e1b41f344d.svg)




Значит, наибольшее значение эта функция принимает при x = 0,
или
Подставим их: 




Поскольку
наибольшее значение равно 
Ответ: 
Приведём другое решение.

Пусть S — вершина пирамиды, ABC — ее основание, O — центр сферы, O1 — центр правильного треугольника ABC. Ясно, что S лежит на прямой OO1, причем так, что O лежит между O1 и S (если это не так, заменим S на второй конец этого же диаметра, высота пирамиды увеличится, значит, и объем тоже). Обозначим
тогда
— высота пирамиды. Тогда из прямоугольного треугольника OO1C имеем

Cечение сферы плоскостью основания — описанная окружность правильного треугольника и поскольку ее радиус равен
то сторона треугольника равна

Тогда объем пирамиды равен


Найдем теперь наибольшее значение функции
Возьмем ее производную:

поэтому производная отрицательна при
и положительна при
Значит, сама функция (а с ней и объем) убывает при
и возрастает при
а наибольшее значение принимает в точке

Ответ: 
Критерии проверки: За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ:

Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1983 год, работа 1, вариант 2
Сложность: 9 из 10