Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 471

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 2002 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

Даны функции f(x)= логарифм по основанию x плюс 1 x и g(x)=f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка .

а) Решите неравенство f(x) < g(x).

б) Найдите все значения x такие, что f(x) и g(x) одновременно являются целыми числами.

в) Найдите все числа c такие, что уравнение f(x) + g(x) = c имеет решения.

г) Пусть xn — такое число, что f(xn) = −n, где n — натуральное число, n ⩾ 2. Докажите, что x_n меньше дробь: числитель: 2\ln n, знаменатель: n конец дроби .

2.

Дана функция f(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: a косинус x минус 1 конец дроби .

а) Найдите все значения a такие, что функция f принимает только положительные значения на интервале  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

б) Пусть a = 2. Решите уравнение f(x) минус f(2x)= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

в) Пусть a > 4. Точки пересечения графика функции f с графиком функции g(x)=a косинус x минус 1 последовательно соединяются отрезками. Укажите наименьшую и наибольшую из длин полученных отрезков.

г) Пусть a = 2 и x таково, что  косинус 2x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Найдите

 \undersetnarrow принадлежит fty\mathop\lim левая круглая скобка f(x) умножить на f левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на f левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на f левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 в степени n конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка .

3.

Обозначим через Pn множество всех наборов (t1, t2, ..., tn) целых чисел таких, что 0 ⩽ ti ⩽ i. Сопоставим каждому такому набору число N(t_1, t_2,\ldots, t_n)=t_1 умножить на 1! плюс t_2 умножить на 2! плюс \ldots плюс t_n умножить на n!.

а) Найдите все возможные наборы (t1, t2, t3, t4), для которых N(t1, t2, t3, t4) = 15.

б) Докажите, что N(t_1,t_2,\ldots,t_n)\leqslant (n плюс 1)! минус 1.

в) Докажите, что N определяет взаимно однозначное соответствие между Pn и множеством всех неотрицательных целых чисел, меньших (n + 1)!.

г) Пусть j0, j1, ..., jn — некоторая перестановка чисел 0, 1, ..., n. Обозначим через ti количество чисел, меньших i, но стоящих справа от него в данной перестановке. Найдите все перестановки j0, j1, ..., j6, для которых N(t_1,t_2,\ldots,t_6)=2002.

4.

Дан многочлен p(z)=z в степени 3 плюс z в степени 2 , z — комплексное число.

а) Решите уравнение p(z) = 2.

б) Найдите сумму квадратов всех корней уравнения p(z) = 2002.

в) Найдите все действительные значения c, при которых модули всех корней уравнения p(z) = c не превосходят 1.

г) Существуют ли такие комплексные значения c, при которых модули всех корней уравнения p(z) = c равны 1?

5.

Будем говорить, что прямоугольник (трапеция) вписан в подграфик функции f, если одна из его (её) сторон лежит на оси абсцисс, а две вершины — на подграфике этой функции.

а) Найдите наибольшее значение площади прямоугольника, вписанного в подграфик функции f(x)=(2 минус |x| в степени 3 ) в степени (\tfrac13) .

б) Верно ли, что из всех прямоугольников, вписанных в подграфик функции f(x)= косинус x  левая круглая скобка x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка наибольшую площадь имеет тот, высота которого вдвое меньше его ширины?

в) Пусть S — наибольшая площадь прямоугольника, вписанного в подграфик функции f(x)= косинус x  левая круглая скобка x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка . Докажите, что площадь вписанной в подграфик этой функции трапеции, основания которой параллельны оси ординат, меньше S.

г) Найдите все значения c, для которых наибольшая площадь прямоугольника, вписанного в подграфик функции f(x)= косинус x плюс c  левая круглая скобка x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка , равна πc.