PDF-версии: 1. Дана функция 
а) Изобразите на плоскости множество точек, координаты (x, y) которых удовлетворяют системе
б) Докажите, что если 
то 
в) Найдите все значения c, при которых система
имеет решение.
г) Пусть S площадь части третьего квадранта, состоящей из точек, координаты (x, y) которых удовлетворяют неравенству 
Докажите, что 
Решение. а) Второе уравнение задает прямую 
Первое неравенство после подстановки можно переписать в виде
получим неравенство
получим
![x принадлежит [1;2].](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/4d/4dbcb863285b711cd826858334eab525.svg)
Итак, множество это отрезок с концами в точках 
и 
б) По условию 
По неравенству о средних для двух чисел получим
откуда в) Поскольку x и y входят в уравнения симметрично, можно считать, что 
откуда 
Тогда
Преобразуем уравнение:
эта функция определена. Тогда 
Возьмем ее производную:
и 
можно оценить это выражение
Итак, производная положительна, поэтому функция возрастает, причем
при 
до 
Получаем ответ 
г) Аналогично предыдущему пункту, перепишем условие 
в виде
Докажем, что функция 
выпукла вниз. Имеем:
и 
имеем 
В таком случае график функции находится ниже любой своей хорды. Отметим на графике точку, в которой 
и соединим ее с точками пересечения с осями координат. Тогда внутри области образуется четырехугольник, разбитый на два треугольника. У каждого из них основание равно
а высота равна 
значит, их суммарная площадь равна
(нужен рисунок. Можно просто симметрично отразить область из задания 2135 относительно начала координат.)
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Решите уравнение 
Рассмотрим множество 
ограниченное осью абсцисс и дугой графика y = f(x), 
Найдите вероятность того, что случайно выбранная в 
точка является серединой хорды, концы которой лежат на рассматриваемой дуге графика данной функции.
и решим его
Ясно, что для последнего набора оно нарушается.
- центр симметрии графика. Тогда вместе с точкой 
на графике должна лежать и точка 
То есть, если 
то 
То есть функция 
— постоянная.
и достигается в точках вида 
а наименьшее равно 
и достигается в точках вида 
Такие точки должны быть симметричны друг другу. Значит, 
и 
тогда
и 
что верно при 
При прочих a функция не определена ни в одной точке.
лежат на горизонтальной оси. Пусть 
— точка, лежащая в указанной области, то есть 
и ![b принадлежит [0; f(c)].](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/66/66ece17f3681cadf5c5d533af42e4e23.svg)
Выясним, когда эта точка является серединой хорды графика. Для этого должно существовать решение системы
(если 
то точки совпадают). Пусть 
где 
Выражая y из первого уравнения и подставляя во второе, получим, что должно существовать решение уравнения
получим
и 
а 
Тогда
где 
и a — некоторые фиксированные комплексные числа.
и 
Найдите 
Изобразите на плоскости множество всех возможных значений 
при условии, что 
Изобразите на плоскости множество всех значений a, при которых 
в точки полуплоскости 
откуда 
По условию 
поэтому искомое множество образовано точками, из которых отрезок с концами в z и w виден под углом 
Пусть u = v + iw, a = b + ic. Так как
то v = 0. Теперь пусть z = x + iy, x, 
и y ⩾ 0. Имеем: 
при всех y ⩾ 0 тогда и только 
и 
в день. Можно ли утверждать, что на этом счету через 5 лет будет бóльшая сумма, чем если бы эти деньги лежали на прежних условиях?
то было бы верно равенство 
что невозможно, так как его правая часть не делится на 11.
Имеем:
при x = 0,05, откуда и будет следовать ответ. В действительности 
Поскольку обе части неравенства совпадают при x = 0, производная левой части при x = 0 меньше производной правой и функция 
выпукла, то достаточно проверить неравенство e − 1 < 2, которое верно.
рублей 90 копеек; 
где 
коэффициенты 
вещественны и среди них один является отрицательным, все остальные — положительны. Будем далее предполагать, что положительные корни многочлена 
являются простыми (другими словами, не кратными).
иметь более двух положительных корней?
c — положительный корень многочлена 
Докажите, что коэффициенты 
многочлена 
отрицательны.
Докажите, что многочлен 
причём 
при 
поэтому уравнение pn(x) = 0 имеет один положительный корень. Если же an > 0, то число положительных корней многочлена pn(x) чётно, так как по предположению все они — простые.
при i ⩽ n − 1, 
Из последнего равенства следует, что 
Далее рассуждаем по индукции. Если bi < 0, то 