Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 469

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 2001 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция f(x)=2 в степени x .

а) Изобразите на плоскости множество точек, координаты (x, y) которых удовлетворяют системе

 система выражений f(x) плюс f(y)\leqslant дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби ,x плюс y=1. конец системы .

б) Докажите, что если f(x) плюс f(y)=4, то x плюс y\leqslant 2.

в) Найдите все значения c, при которых система

 система выражений f(x) плюс f(y)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x в степени 2 плюс y в степени 2 =c конец системы .

имеет решение.

г) Пусть S площадь части первого квадранта, состоящей из точек, координаты (x, y) которых удовлетворяют неравенству f(x) плюс f(y)\leqslant a(a больше 2). Докажите, что S больше логарифм по основанию 2 (a минус 1)( логарифм по основанию 2 a минус 1).

2.

2. Дана функция f(x)= корень из a плюс 2 синус x.

а) Пусть a = 1. Решите уравнение f(x) = f(2x).

б) Пусть a > 2. График функции f похож на синусоиду, в частности, эта функция монотонна на тех же участках, что и синус. Докажите, что, однако, график y = f(x) не имеет центра симметрии.

в) Найдите (в зависимости от a) наибольшее значение суммы f(x) плюс f левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

г) Пусть a = −1. Рассмотрим множество \mathcalD, ограниченной осью абсцисс и дугой графика y = f(x), x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка . Найдите вероятность того, что случайно выбранная в \mathcalD точка является серединой хорды, концы которой лежат на рассматриваемой дуге графика данной функции.

3.

Отображение f сопоставляет комплексному числу z число f(z)=uz плюс (1 минус u)a, где u не равно 0 и a — некоторые фиксированные комплексные числа.

а) Известно, что f(2)=2 плюс 2i и f(2i)=0. Найдите f(1 плюс 2i).

б) Известно, что f(1)=i. Изобразите на плоскости множество всех возможных значений f( минус 1), при условии, что |u|=1.

в) Известно, что \arg u= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3. Изобразите на плоскости множество всех значений a, при которых f(1 минус i корень из 3 )=1 плюс i корень из 3 .

г) Изобразите на плоскости множество всех значений a, для которых найдется такое значение u, что соответствующее отображение f переводит точки полуплоскости \im z\geqslant0 в точки полуплоскости \re z\geqslant0.

4.

31 декабря 2001 года некто положил в банк 100 000 рублей из расчета 10% годовых. Для простоты будем предполагать, что при всех операциях по вкладу округления не производятся.

а) Определите наибольшую сумму, которую можно ежегодно 1 января (начиная уже с 2002 года) снимать с этого счета, с тем, чтобы некто мог им пользоваться неограниченно долго.

б) Может ли быть, чтобы доход от этого вклада за некоторые k последовательных лет был равен доходу от него за n последующих лет? (Деньги со счета в течение всех этих лет не снимаются.)

в) Некто решил ежегодно 1 января (начиная с 2002 года) снимать со счета 9200 рублей? Сможет ли он пользоваться этим счетом в течение 47 лет подряд? (В вычислениях вам, возможно, придется использовать следующие приближенные значения логарифмов \lg11\approx1,04139 и \lg77\approx1,88649.)

г) 1 января 2002 года некто заключил с банком новый договор, согласно которому он обязуется не снимать деньги со счета в течение 5 лет, а вместо обычных 10% годовых по его счету будут начисляться  дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 73\% в день. Можно ли утверждать, что на этом счету через 5 лет будет бóльшая сумма, чем если бы эти деньги лежали на прежних условиях?

5.

Пусть p_n(x)=x в степени n плюс a_1x в степени (n минус 1) плюс \ldots плюс a_n, где n\geqslant2, коэффициенты a_1, a_2, \ldots, a_n вещественны и среди них один является отрицательным, все остальные — положительны. Будем далее предполагать, что положительные корни многочлена p_n(x) являются простыми (другими словами, не кратными).

а) Может ли многочлен p_3(x) иметь более двух положительных корней?

б) Верно ли, что многочлен p_n(x) имеет единственный положительный корень тогда и только тогда, когда a_n меньше 0?

в) Пусть a_1 меньше 0, c — положительный корень многочлена p_n(x). Докажите, что коэффициенты b_1,b_2,\ldots,b_n минус 1 многочлена  дробь: числитель: p_n(x), знаменатель: x минус c конец дроби отрицательны.

г) Пусть a_1 меньше 0. Докажите, что многочлен p_n(x) либо имеет ровно два положительных корня, либо не имеет их вообще.