Решение. а) Допустим, что при некотором x происходит касание. Тогда в точке касания производная должна быть равна угловому коэффициенту прямой, то есть Получаем

Откуда и (второе условие выражает тот факт, то у прямой и графика точка касания является общей). Из первого уравнения тогда из второго то есть поэтому и Итого, при абсцисса точки касания равна −1.

б) Преобразуем исходное выражение:

поскольку Докажем это. Исследуем функцию определенную при Поскольку

что положительно при и отрицательно при функция возрастает на (−1; 0] и убывает на Значит,

что и требовалось доказать.

в) Запишем уравнение в виде что равносильно Обозначим и тогда каждому x соответствует ровно одно значение Поэтому достаточно изучить число положительных корней уравнения где тогда Рассмотрим функцию и возьмем ее производную:

что положительно при и отрицательно при поэтому убывает на и возрастает на При этом

и Значит, функция принимает один раз значение и два раза — все большие него значения. Вспоминая о том, что получаем ответ — при одно решение, при два решения, нет решений при

г) Преобразуем исходное выражение:

Подынтегральная функция положительна, поскольку Но кроме того, как уже было доказано в пункте а), при положительных t выполнено неравенство поэтому

Неравенство доказано.

Ответ: а) в) два — при не имеет решений при

Решение. а) Уравнения можно записать в виде и Возводя уравнения в квадрат и складывая их, получим

то есть что невозможно.

Уравнения можно записать в виде и Возводя уравнения в квадрат и складывая их, получим

то есть 16 = 1, что невозможно.

б) Уравнения можно записать в виде Возводя их в квадрат и складывая, получим:

Возведем уравнение в квадрат, при условии (поскольку ):

Значит, либо откуда и тогда из уравнения находим при Либо можно сократить уравнение на получим

Тогда

И из уравнений изначальной системы получаем

В таком случае ответы получаются такими и где и и где Если про угол известны и синус и косинус, то угол определяется однозначно с точностью до прибавления кратного Мы выбрали точки в подходящих четвертях, чтобы знаки сошлись. Например у был бы положительный синус, что нас не устраивает.

в) Рассмотрим четырехугольник ABCD, BC = 1, AD = 4, AB = CD = 3. Пусть, далее, AC = 2x. По неравенству треугольника получим и или и откуда Ясно, что любое такое x подходит — оба треугольника ABC и ADC удается построить и склеить по стороне AC. Применим тогда к каждому из них формулу Герона, решим:

Обозначим и рассмотрим функцию

Нам нужно найти наибольшее значение этого выражения на отрезке [1; 4] (мы формально включим сюда концы отрезка, хотя в них вряд ли будет наибольшее значение. Просто привычнее искать его на замкнутом промежутке. Исследовать знак производной нам здесь не удастся). Возьмем производную и приравняем ее к нулю (неопределенна она только в концах отрезка):

Решим уравнение:

Первый корень посторонний, для него в уравнении

левая часть положительна, а правая отрицательна,

Поэтому самое большое значение площади равно На самом деле четырехугольник наибольшей площади с данными сторонами — вписанный. В нашем случае на его, роль, очевидно, подойдет равнобедренная трапеция.

г) Начнём решать данную систему так же, как мы решали ее в п. б. Запишем уравнения в виде и возведем в квадрат и сложим. Получим уравнение причем если это уравнение имеет решение, то соответствующее y можно будет подобрать, поскольку выражения и будут не больше 1 по модулю, а сумма их квадратов будет равна единице. Раскрывая скобки, получим:

Обозначим тогда

При решений нет (это, кстати, пункт а). Выберем так, чтобы и (это возможно, поскольку ), тогда

Значит, для того, чтобы уравнение имело решение, необходимо и достаточно, чтобы Поскольку данное выражение положительно всегда

Значит, такие точки заполняют кольцо с внешним радиусом 5 и внутренним 3 и центром в начале координат.

Ответ:

а) решений нет;

б)  где

в) 

г) множество, заданное неравенствами (кольцо).

Решение. а) Если корни многочлена действительны и лежат на единичной окружности, то так что Рассмотрим случай и положим Тогда т. е.

б) Имеем:

Среди точек вида  — произвольных точек единичного круга — ближайшей к точке 4 является точка 1.

в) Предположим, что вершины занумерованы так, что обход квадрата совершается против часовой стрелки. Мы вправе считать, что Тогда Далее, так как и то Следовательно,

г) Если предположить противное, то точка u, в которой достигается наибольшее значение в круге не лежит на единичной окружности, в частности, Рассмотрим квадрат, центром которого является точка u, а одна из вершин которого (обозначим ее ) лежит на единичной окружности. В силу выбора точки u верны неравенства С другой стороны, по доказанному в предыдущем пункте, так что

поэтому в частности, Отсюда следует, что  — противоречие.

Ответ: а) да, верно; б)

----------

Дублирует задание 2127.

Решение. а) Составим Общую формулу легко доказать по индукции.

б) Заметим прежде всего, что если то поэтому

Следовательно, если то при всех Отсюда следует, что неравенство равносильно неравенству которое очевидно верно, так как

в) Число a не является начальным членом данной последовательности, если при вычислении по заданной формуле получаем, что при некотором тогда не существует! Чтобы найти все такие значения начальных членов, перепишем рекуррентное соотношение в виде

и, для удобства, занумеруем последовательность в обратном направлении, начиная от положив

Теперь нетрудно увидеть, а затем доказать по индукции формулу

г) Если то последовательность стационарна; В пункте б) доказано, что при мы также получаем монотонную последовательность. Если то поэтому последовательность не монотонна. Итак, пусть причем Нетрудно доказать, что если

то так что таким образом мы снова получаем не монотонную последовательность.

Ответ: а) в) г)

----------

Дублирует задание 2128.

Решение. а) Рассмотрим дерево возможных переходов из состояния в состояние в течение первых трех секунд (см. рис.). Поскольку все возможные из восьми вариантов переходов равновероятны, то ответ следует из того, что в нижней строчке состояние a встречается два раза, а каждое из состояний b и c — по три.

б) Если k — это число раз, которое состояние x встречается в нижней строчке дерева возможных переходов за n секунд, то

в) Положим для краткости записи Тогда Действительно, на n-й секунде устройство будет находится в состоянии x тогда и только тогда, когда на предыдущей секунде оно находилось в одном из двух других состояний (вероятность чего равна ) из которых оно и перешло в x (с вероятностью ). Осталось заметить, что

поэтому при

Замечание. Нетрудно доказать явную формулу для вероятностей Именно

г) Утверждение будет следовать, к примеру, из формулы

и ее аналогов для вероятностей и Докажем приведенную формулу (доказательство двух других аналогично).

Припишем переходам число а переходам в обратном направлении —  — число −1. Таким образом, последовательность переходов за n секунд кодируется последовательностью длины n. Предположим, что в некоторой такой последовательности встречаются k штук Нетрудно понять, что последнее состояние совпадает с первым тогда и только тогда, когда (mod 3), отсюда (mod 3) или (mod 3). Осталось заметить, что вероятность каждой из последовательностей равна а число последовательностей, в которых встречается k раз, равно

Ответ: а) б) нет.

----------

Дублирует задание 2129.