Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 467

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 2000 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

Дана функция f(x)= логарифм по основанию 2 (2 в степени x плюс a).

а) При каком a прямая y= дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби касается графика функции f?

б) Докажите, что f(0)\leqslant дробь: числитель: a, знаменатель: конец дроби \ln2.

в) Пусть a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Сколько решений (в зависимости от b) имеет уравнение f(x)= дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс b?

г) Пусть a больше 0 и t больше 0. Докажите, что \left | принадлежит t_0 в степени t f(x) dx минус дробь: числитель: t в степени 2 , знаменатель: 2 конец дроби | меньше 4a.

2.

Дана система 4 косинус x минус 3 косинус y=a, 4 синус x плюс 3 синус y=b.

а) Решите систему при a=b=0.

б) Решите систему при a=3, b=4.

в) Найдите наибольшее значение площади четырехугольника, длины последовательных сторон которого равны 1, 3, 1 и 4.

г) Изобразите на плоскости множество всех точек M(a, b), таких что данная система имеет решение.

3.

3А. Пусть p(z)=z в степени 2 плюс az плюс b, z принадлежит \Bbb C. В следующих далее формулировках мы для краткости будем отождествлять комплексные числа с их изображениями как точек плоскости.

а) Пусть b=1. Верно ли, что при всех a принадлежит \Bbb R, |a|\leqslant2, корни многочлена p(z) лежат на единичной окружности?

б) Пусть b=1, a принадлежит \Bbb C и |a|\leqslant1. Найдите наименьшее значение модуля разности корней многочлена p(z).

в) Пусть zk, k = 1, 2, 3, 4, — вершины квадрата с центром u. Докажите, что \sum_k=1 в степени 4 p(z_k)=4p(u).

г) Пусть m — наибольшее значение |p(z)| при |z|=1. Докажите, что |p(z)|\leqslant m при всех |z|\leqslant1.

4.

3Б. Рассматриваются последовательности \x_n\_n=0 в степени infty, для которых x_n= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 минус x_n минус 1, n\geqslant1.

а) Пусть x_0= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Вычислите x_2000.

б) Докажите, что если x_0 меньше 1, то последовательность \x_n\ монотонна.

в) Найдите множество \Cal C_0 всех чисел, которые не могут являться начальными членами x_0 таких (бесконечных) последовательностей.

г) Найдите множество начальных членов x_0 монотонных последовательностей \x_n\.

5.

Некоторое устройство может находится в одном из трех состояний (обозначаемых далее a, b и c). Если оно в некоторый момент находится, к примеру, в состоянии a, то через одну секунду оно перейдет в одно из состояний b или c (вероятность перехода в каждое из которых равна  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ). Обозначим через p_n(x), где x принадлежит \a, b, c\, вероятность того, что через n секунд устройство будет находится в состоянии x; в начальный момент оно находится в состоянии a.

а) Вычислите p_3(x), x принадлежит \a, b, c\.

б) Может ли при некотором n вероятность p_n(x), x принадлежит \a, b, c\, быть равной  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ?

в) Докажите, что \lim\limits_n\to принадлежит ftyp_n(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

г) Докажите, что утверждение, сформулированное в предыдущем пункте, равносильно тому, что

 \lim_n\to принадлежит fty дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 в степени n \sum_k\equiv i\pmod3C_n в степени k = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , \quad i=0,1,2.