Решение. а) Если прямая касается графика данной функции в точке с абсциссой t, то и откуда и Из первого уравнения следует, что значит, откуда

б) Неравенство равносильно известному неравенству для доказательства которого введем вспомогательную функцию Так как

то  — точка минимума. Значит,

в) Сделав в данном уравнении замену и перейдя к соответствующему показательному уравнению, в котором для краткости записи положим получим уравнение у которого нам надо исследовать число его положительных решений. Дискриминант полученного уравнения положителен при

г) Имеем:

так как

Ответ: а) в) одно решение при два — при не имеет решений при

Решение. а) Действительно, возведя в квадрат обе части каждого из уравнений системы и сложив полученные в результате уравнения, получим, что

б) Сложив уравнения, полученные в результате возведения в квадрат обоих уравнения данной системы, получим, что Если то

т. е. Если то

т. е.

в) Пусть α и β — противоположные углы четырехугольника. Для определенности считаем, что они являются вершинами двух треугольников с боковыми сторонами 1 и 4, 1 и 3 соответственно. Приравняв найденные по формуле косинусов выражения для квадрата длины общего основания этих треугольников, получим, что или Площадь s четырехугольника выразим по формуле так что После преобразований, аналогичных проделанным в предыдущем пункте, получим, что

Осталось заметить, что  — это величина площади равнобедренной трапеции с основаниями 3 и 4 и боковыми сторонами, равными 1.

г) Введем комплексные числа и Данное уравнение приобретает вид и поставленный вопрос можно переформулировать следующим образом: «При каком условии на c существуют такие комплексные числа z, и w, что ?» Ответ следует из геометрического представления сложения комплексных чисел как сложения векторов по «правилу треугольника» и из условий существования треугольника: такие числа z и w найдутся тогда и только тогда: когда

Ответ:

а) решений нет;

б) 

в) 

г) множество, заданное неравенствами (кольцо).

Решение. а) Если корни многочлена действительны и лежат на единичной окружности, то так что Рассмотрим случай и положим Тогда т. е.

б) Имеем:

Среди точек вида  — произвольных точек единичного круга — ближайшей к точке 4 является точка 1.

в) Предположим, что вершины занумерованы так, что обход квадрата совершается против часовой стрелки. Мы вправе считать, что Тогда Далее, так как и то Следовательно,

г) Если предположить противное, то точка u, в которой достигается наибольшее значение в круге не лежит на единичной окружности, в частности, Рассмотрим квадрат, центром которого является точка u, а одна из вершин которого (обозначим ее ) лежит на единичной окружности. В силу выбора точки u верны неравенства С другой стороны, по доказанному в предыдущем пункте, так что

поэтому в частности, Отсюда следует, что  — противоречие.

Ответ: а) да, верно; б)

Решение. а) Составим Общую формулу легко доказать по индукции.

б) Заметим прежде всего, что если то поэтому

Следовательно, если то при всех Отсюда следует, что неравенство равносильно неравенству которое очевидно верно, так как

в) Число a не является начальным членом данной последовательности, если при вычислении по заданной формуле получаем, что при некотором тогда не существует! Чтобы найти все такие значения начальных членов, перепишем рекуррентное соотношение в виде

и, для удобства, занумеруем последовательность в обратном направлении, начиная от положив

Теперь нетрудно увидеть, а затем доказать по индукции формулу

г) Если то последовательность стационарна; В пункте б) доказано, что при мы также получаем монотонную последовательность. Если то поэтому последовательность не монотонна. Итак, пусть причем Нетрудно доказать, что если

то так что таким образом мы снова получаем не монотонную последовательность.

Ответ: а) в) г)

Решение. а) Рассмотрим дерево возможных переходов из состояния в состояние в течение первых трех секунд (см. рис.). Поскольку все возможные из восьми вариантов переходов равновероятны, то ответ следует из того, что в нижней строчке состояние a встречается два раза, а каждое из состояний b и c — по три.

б) Если k — это число раз, которое состояние x встречается в нижней строчке дерева возможных переходов за n секунд, то

в) Положим для краткости записи Тогда Действительно, на n-й секунде устройство будет находится в состоянии x тогда и только тогда, когда на предыдущей секунде оно находилось в одном из двух других состояний (вероятность чего равна ) из которых оно и перешло в x (с вероятностью ). Осталось заметить, что

поэтому при

Замечание. Нетрудно доказать явную формулу для вероятностей Именно

г) Утверждение будет следовать, к примеру, из формулы

и ее аналогов для вероятностей и Докажем приведенную формулу (доказательство двух других аналогично).

Припишем переходам число а переходам в обратном направлении —  — число −1. Таким образом, последовательность переходов за n секунд кодируется последовательностью длины n. Предположим, что в некоторой такой последовательности встречаются k штук Нетрудно понять, что последнее состояние совпадает с первым тогда и только тогда, когда (mod 3), отсюда (mod 3) или (mod 3). Осталось заметить, что вероятность каждой из последовательностей равна а число последовательностей, в которых встречается k раз, равно

Ответ: а) б) нет.