Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 465

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1999 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция f(x)=2 в степени x минус ax.

а) Решите неравенство f(3x)\geqslant f(2x) плюс f(x).

б) Найдите все a, при которых уравнение f(2x)=f(x) плюс f(x плюс 1) имеет единственное решение.

в) Пусть a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Решите уравнение  корень из f(x) плюс x=0.

г) Пусть a=1. Найдите с точностью до 0,\!03 положительный корень уравнения f(x)=1024.

2.

Дана функция f(x)= косинус в степени 3 x плюс a косинус в степени 2 x синус x плюс b косинус x синус в степени 2 x плюс синус в степени 3 x.

а) Найдите a и b, если известно, что числа \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби являются корнями функции f.

б) Пусть a=b= минус 1. Решите неравенство f(x)\leqslant0.

в) Пусть b= минус 3. Решите уравнение f(x)= косинус 3x.

г) Найдите все пары (a,b), при которых период функции f равен  дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

3.

3А. Комплексное число z=a плюс bi называется гауссовым, если a и b — целые числа. Говорят, что гауссово число z кратно числу w, если z=wu, где w и u — гауссовы числа. Пусть \Cal K — множество всех гауссовых чисел, кратных 1 плюс 2i.

а) Найдите все натуральные a, такие что a\leqslant20 и 2 плюс ai принадлежит \Cal K.

б) Докажите, что если z принадлежит \Cal K и \arg z= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i4, то z кратно 3 минус i.

в) Существуют ли числа u, v принадлежит \Cal K, такие что \arg дробь: числитель: u, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i8?

г) Докажите, что для всякого гауссова числа z найдется число w принадлежит \Cal K, такое что |z минус w|\leqslant1.

4.

3Б. Будем считать, что Земля имеет форму шара радиусом R=6400 км. Известно, что радиоволны, на которых ведется телевещание, распространяются по прямой. Предположим, что телепередатчик расположен на высоте h от земной поверхности. Обозначим через l(h) расстояние по поверхности Земли от основания телебашни (или от той точки Земли, которая расположена ближе всего к ретрансляционному спутнику) до самой дальней точки, в которой возможен прием телепередачи.

а) Найдите наименьшее значение h, при котором прием возможен во всех точках некоторого меридиана севернее 60 градусов ю. ш. и южнее 60 градусов с. ш., если спутник висит над экватором?

б) Докажите, что \lim\limits_h\to0 дробь: числитель: l(h), знаменатель: корень из 2Rh конец дроби =1.

в) Предположим, что передатчик размещен на Луне (т. е. на расстоянии 400 000 км от центра Земли). Покажите, что в этом случае l(h) меньше четверти длины экватора по крайней мере на 100 км.

г) Для того, чтобы обеспечить связь между двумя пунктами, расположенными на расстоянии 1600 км друг от друга, решено построить радиорелейную линию. Докажите, что если высота мачт этой линии равна 31,25 метра, то потребуются не менее 41 таких мачт.

5.

Пусть p_n(x) — многочлен степени n.

а) Известно, что числа 3 и 7 являются корнями многочлена p_2(x) и что p_2'(3)=11. Найдите p_2'(7).

б) Известно, что числа 1 и 2 являются корнями многочлена p_3(x). Пусть p_3'(1)=k и p_3'(2)=l, причем kl больше 0. Докажите, что число, делящее отрезок [1;2] в отношении k:l, является третьим корнем этого многочлена.

в) Пусть p_3(x)=x в степени 3 минус 3x в степени 2 минус 1. Найдите все a, при которых многочлен p_3(x) плюс ax имеет ровно два действительных корня.

г) Пусть p_1000(x)=x(x минус 2)...(x минус 1998). Найдите все a\geqslant 0, при которых уравнение p_1000(x)=a имеет 1000 различных действительных корней.