Решение. а) После подстановки получим неравенство Поделим на и введём замену теперь решим неравенство Учитывая положительность t, приходим к ответу: Возвращаясь к исходной переменной:

б) Рассматривается уравнение

Ясно, что это уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение где имеет всего одно решение, причём оно положительно, или когда у него два решения, причём одно из них положительно, а другое отрицательно. Дискриминант этого уравнения равен Уравнение имеет единственное решение, если (это решение, очевидно, положительно). Уравнение имеет корни разных знаков при при один из корней равен нулю, а второй равен 3.

в) После подстановки получим уравнение Оно равносильно системе

Если то выражение положительно при Заметим, что на этом луче квадратичная функция убывает, а функция возрастает, поэтому уравнение имеет не более одного корня, каковым, очевидно, является

г) Рассматривается уравнение Изучим поведение функции ясно, что а значит, на интервале эта функция имеет корень. Других положительных корней у неё нет. В самом деле, на луче производная функции g положительна, ибо а потому функция g возрастает на данном луче и не может иметь на нем двух корней; на промежутке же значения функции g, очевидно, отрицательны. Обозначим теперь этот корень t. По теореме Лагранжа выводим равенство:

Так как а то выполняется равенство Но поэтому

Именно поэтому число 10 является приближенным значением корня с точностью до 0,03.

Ответ: а) б) в) г) 10.

Решение. а) Подставив получим уравнение подставив  — уравнение Решая систему полученных уравнений, находим —

б) Рассматривается неравенство:

Ясно, что оно выполняется, только если или Решая это уравнение и неравенство, находим ответ.

в) Учитывая, что получаем уравнение:

Уравнение имеет решение лишь при Теперь ясен ответ.

г) Легко заметить, что если то  — функция периода Покажем, что других подходящих пар нет. В самом деле, если функция f периодична с периодом то должны выполняться равенства и Подставляя соответствующие значения, получаем систему:

Ответ: а) б) в) при при г)

Решение. а) Пусть Число тогда и только тогда, когда z — гауссово, но

поэтому тогда и только тогда, когда числа и делятся на 5.

б) Поскольку то можно записать:

Поскольку то так что Окончательно получаем:

в) Предположим, что требуемые числа u и v существуют. Рассмотрим число заметим, что, поскольку числа u и v гауссовы, т. е. их вещественные и мнимые части — целые числа, то числа a и b рациональны. Поэтому число тоже рационально. С другой стороны, если то

так как число рационально, а число иррационально, то  — иррациональное число, но оно, очевидно, равно т. е. рационально. Противоречие.

г) Числа имеют вид

Поэтому совокупность всех чисел w — это множество узлов решётки, изображенной на рисунке. Любое число z оказывается, таким образом, внутри или на сторонах какого-то квадрата со стороной длины вершины которого — числа из множества K. Понятно, что можно ограничиться рассмотрением гауссовых чисел, лежащих внутри или на сторонах квадрата OABC, где A — соответствует числу B — числу C — числу (остальные случаи можно свести к этому соответствующим параллельным переносом). Но для этих чисел (это числа 0, i, 2i, ) очевидно, что расстояние от них до ближайшей из вершин квадрата OABC не превосходит 1.

Ответ: а) 4; 9; 14; 19; в) таких чисел не существует.

Решение. а) На чертеже AB, AC — касательные к окружности, (точке A соответствует положение передатчика, точке O — центра Земли). По условию должно выполняться неравенство для этого необходимо и достаточно, чтобы:

б) Длина дуги BM равна ясно, что Заметим, что

Понятно, что если то и Поэтому

в) На чертеже AB — касательная к окружности, длина дуги BM равна Дуга CM — четверть экватора, (точке A соответствует положение передатчика, точке O — центра Земли). Требуется доказать, что длина дуги BC не меньше 100 км. Но эта длина равна Выводим:

г) На чертеже точкам A и B соответствуют вершины мачт, AB — касательная к окружности в точке C, длина дуги BC равна Обозначим s — расстояние между основаниями двух соседних мачт (при указанном их расположении), Поскольку то таким образом,

Пусть км. Получим:

Теперь оценим длину полученного интервала

для этого заметим, что выполняется неравенство причём

Теперь запишем:

Теперь предъявим еще одно число из интервала  — число То, что оно принадлежит этому интервалу следует из двойного неравенства

Правая часть которого очевидна, а левую часть доказывается возведением в квадрат:

Поскольку число отличается от 40 меньше, чем на единицу, то число участков между соседними мачтами (при выбранном нами и тем более при всяком ином способе их расположения) должно быть не меньше 40, но это и означает, что нужно не менее 41 мачты.

Ответ: а) км; в) см. рис.

Решение. а) Если тогда

б) Представим многочлен в виде где а t  — некое число. Теперь запишем:

Тогда

Полученное и означает, что число t лежит в отрезке и делит его в отношении

в) Так как не является корнем уравнения то его можно записать в виде Исследуем функцию и построим эскиз её графика. Поскольку

то эта функция убывает на промежутках и возрастает на Также Теперь ответ очевиден.

г) Для решения этой задачи также достаточно представить себе эскиз графика функции Заметим, что на интервалах эта функция принимает положительные значения, а на интервалах  — отрицательные Ясно, что уравнение имеет ровно два решения на отрезке если где M_k — наибольшее значение этой функции на этом отрезке (наличие двух корней следует из непрерывности, больше же двух корней быть не может, ибо в противном случае на отрезке оказалось бы более одной точки, в которой производная функции обращается в нуль, что невозможно, ибо уравнение не может иметь более 999 решений). На каждом из лучей и уравнение при неотрицательных a имеет ровно одно решение. Поэтому это уравнение имеет требуемое число решений при где M — наименьшее из чисел

Теперь заметим, что наибольшее значение многочлена на отрезке равно В самом деле, сделаем замену получим, что наибольшее значение функции на отрезке равно наибольшему значению функции на отрезке Но на отрезке эта функция, очевидно, возрастает, а на отрезке убывает,

Остается заметить, что наибольшие значения многочлена на каждом из отрезков вида больше числа Для этого достаточно убедиться в том, что число где Но это очевидно — ограничимся случаем тогда:

(так как число сомножителей в числителе равно числу сомножителей в знаменателе, но каждый из сомножителей числителя больше сомножителей знаменателя).

Ответ: а) −11; в) г)