Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 464

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1998 год, вариант 2

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

Дана функция f(x)= логарифм по основанию 1 минус x дробь: числитель: a, знаменатель: x конец дроби .

а) Известно, что x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби  — корень уравнения f(x)=2. Найдите a и остальные корни этого уравнения.

б) Пусть a= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: конец дроби 16. Решите неравенство f(x)\geqslant f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка .

в) Найдите все a, при которых уравнение f(x)=2 имеет единственное решение.

г) Докажите, что если уравнение f(x)=n (n — натуральное) имеет положительный корень, то na меньше e в степени ( минус 1) .

2.

Дана функция f(x)= косинус ax косинус x.

а) Пусть a=2. Решите уравнение \dfracf(3x)f(x)=1.

б) Найдите все a, при которых  принадлежит t\limits_0 в степени ( Пи ) f(x)dx\geqslant0.

в) Пусть xa — ближайший к  дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i2 корень уравнения f(x)= синус x. Найдите наименьшее значение \left|x_a минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i2 |.

г) Найдите все a, при которых f(x)\geqslant дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 корень из 2 при всех x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i4; дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3 правая квадратная скобка .

3.

Даны многочлены p(x)=ax в степени (1998) плюс b и q(x)=cx в степени (1917) плюс d, a не равно 0.

а) Найдите наибольшее возможное число действительных корней уравнения p(x)=q(x).

б) Пусть a=71, b=3, c=74 и d=0. Решите уравнение p(x)=q(x).

в) Пусть b=0 и c=1. Найдите все целые a, d, при которых число p(n) делится на q(n) при всех n принадлежит \Bbb N.

г) Пусть d=0. Найдите все целые a, b, c при которых разность p(n) минус q(n) делится на (n минус 1) в степени 2 при всех n принадлежит \Bbb N.

4.

Каждая из граней куба закрашивается целиком белым или черным цветом. Раскраски двух кубов называются одинаковыми, если эти кубы невозможно различить (при этом их разрешается вращать в пространстве).

а) Найдите вероятность того, что при случайном раскрашивании куба все его противоположные грани имеют различные цвета.

б) Сколько всего существует различных раскрасок куба?

в) Двое людей по очереди закрашивают по одной грани куба. Раскрасив один куб, они принимаются за следующий. Докажите, что второй из них может добиться, чтобы все кубы оказались одинаково раскрашенными.

г) Найдите вероятность того, что при случайном раскрашивании двух кубов их раскраски оказались одинаковыми.

5.

Дан многочлен p(z)=z в степени 3 плюс az плюс b, a,b,z принадлежит \Bbb C.

а) Пусть a= минус i, b=1 минус i. Найдите корни многочлена p(z) (и запишите их в алгебраической форме).

б) Найдите все пары (a,b), при которых один из корней многочлена p(z) совпадает с серединой отрезка между двумя другими (здесь и в следующем пункте мы отождествляем комплексные числа с точками плоскости).

в) Найдите все пары (a,b), при которых корни многочлена p(z) лежат в вершинах равностороннего треугольника.

г) Докажите, что если |p(z)|\leqslant1 при всех |z|=1, то a=b=0.