Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 462

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1997 год, вариант 2

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

Дана функция f(x)= логарифм по основанию x в степени 2 3 плюс логарифм по основанию \tfrac13 3x в степени 2 .

а) Решите уравнение f(x)=2.

б) Решите неравенство f(x)\geqslant минус 2.

в) Найдите все a, при которых уравнение f(x)=f(a) имеет три решения.

г) Определите число корней уравнения f левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =f(x).

2.

Дана функция f(x)= косинус в степени 6 x плюс синус в степени 6 x плюс 2a косинус в степени 2 x.

а) Пусть a= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби . Найдите корни функции f.

б) Найдите все a, такие что

 принадлежит t\limits_ минус \tfrac Пи 4 в степени (\tfrac Пи ) 4f(x)dx=0.

в) Найдите все a, при которых функция f монотонна на отрезке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка .

г) Вычислите предел \lim\limits_n\to плюс принадлежит fty дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби \sum\limits_k=1 в степени (n) f левая круглая скобка дробь: числитель: k Пи , знаменатель: n конец дроби минус x правая круглая скобка .

3.

3А. Последовательность \x_n\, n=0, 1, \ldots, задана соотношениями x_n плюс 1=2x_n в степени 2 минус 1, x_0=c.

а) Найдите все c, при которых x_2 больше 0.

б) Докажите, что если c больше 1, то эта последовательность монотонна.

в) Найдите все непостоянные конечные арифметические прогрессии, образованные последовательными членами указанной последовательности.

г) Докажите, что существуют последовательности данного вида, имеющие сколь угодно большой период.

4.

Известно, что ученик подготовил ответы не на все из 16 выносимых на зачет вопросов.

а) Сколько вопросов он выучил, если известно, что вероятность того, что он сможет ответить на оба из случайно выбранных им двух вопросов, не меньше, чем \dfrac78?

б) Сколько вопросов он выучил, если известно, что вероятность того, что он сможет ответить только на один из случайно выбранных им двух вопросов, равна \dfrac12?

в) В каком случае вероятность того, что он сможет ответить на один случайно выбранный им вопрос, больше, чем вероятность того, что ему удастся ответить на два (по его выбору) из случайно выбранных им трех вопросов?

г) Учитель распределил случайным образом вопросы по восьми билетам (по два вопроса в каждом). Какова вероятность того, что ученик в состоянии ответить хотя бы на один вопрос каждого из билетов, если известно, что он подготовил ответы на 10 вопросов?

5.

3В. Дано число \varepsilon не равно 1, такое что \varepsilon в степени 3 =1. Сопоставим точкам A(a), B(b), C(c) плоскости (здесь a, b, c — комплексные числа) числа u=a плюс b\varepsilon плюс c\varepsilon в степени 2 и v=a плюс b\varepsilon в степени 2 плюс c\varepsilon .

а) Известно, что a=0, c= минус 2, u=0. Определите вид треугольника ABC.

б) Докажите, что числа u и v не изменятся, если треугольник ABC подвергнуть параллельному переносу.

в) Докажите, что треугольник ABC является равносторонним тогда и только тогда, когда uv=0.

г) Найдите множество значений u для всех треугольников ABC, накрываемых кругом радиуса 1.