Решение. а) Сделав замену мы получим, что более формально: где Данная замена приводит уравнение пункта а) задачи к виду или Поскольку, как нетрудно видеть,

б) Проделав аналогичные преобразования, мы придем к неравенству

откуда

При решении заданий пунктов в-г) удобно воспользоваться графической интерпретацией уравнения для чего следует построить график функции g. Вначале попробуем обойтись без вычислений. Из формулы ясно, что

а при больших значениях график искомой функции близок к графику простой квадратичной функции. Таким образом, похоже, что график функции g имеет такой вид, как это показано на рис. 213. Для того, чтобы в этом убедиться и заодно найти промежутки монотонности и точку минимума функции g, поступим стандартным образом. Поскольку

то при и при Значит, функция g возрастает на луче и убывает на каждом из промежутков и Точка A (см. рис.) имеет координаты Кстати, из ответа к заданию пункта а) следует, что касательная к графику в точке A имеет с этим графиком еще одну точку пересечения —

в) Как и выше, сделаем замену и положим дополнительно Из графика функции g ясно, что уравнение имеет единственное решение (а, значит, имеет единственное решение и уравнение ) при т. е. Снова обратившись к изображенному на рисунке графику функции g, получаем, что

Другой способ решения этой задачи связан с прямым исследованием (сводящегося к кубическому) уравнения которое, очевидно, имеет решение Поделив на получим квадратное уравнение, которое по условию или не имеет решений, или же имеет единственное решение (последний случай в действительности невозможен).

г) Та же замена сводит уравнение к виду из которого при помощи прямых преобразований получаем уравнение Всякое кубическое уравнение имеет по крайней мере один действительный корень. Осталось показать, что в данном случае он действительно один, что опять-таки легче сделать при помощи исследования функции (Кстати, удобно сделать дополнительную замену после чего получаем )

Ответ: а) б) в) г) один корень.

Решение. Вначале проделаем преобразования:

Далее для будем использовать одно из следующих представлений: или

а) Сделав в уравнении замену и воспользовавшись результатом проделанного преобразования, получим квадратное уравнение с корнями и Поскольку то

б) Интегрируя, получаем

поэтому

в) Поскольку функция возрастает на отрезке то монотонность f на нем равносильна монотонности квадратичной функции на отрезке Следовательно, точка минимума функции g не должна лежать внутри указанного отрезка, т. е.

г) Самый простой способ решения этой задачи основан на том, что сумма является суммой Римана для интеграла следовательно, ее пределом является данный интеграл. Далее, поскольку подынтегральная функция -периодична, то интеграл от нее по отрезку длины не зависит от расположения этого отрезка на оси. Таким образом, искомый предел равен

Указанную сумму нетрудно вычислить и явно, использовав следующие два хорошо известных равенства:

Ответ: а) б) в) г)

Решение. а) Поскольку то искомые значения c — решения неравенства

б) Исходным моментом рассуждения является следующее преобразование:

Поэтому, если то Для точного рассуждения можно воспользоваться методом математической индукции. Причем удобнее доказывать, что По предположению Индукционный переход: из проведенного выше преобразования следует, что если то Поэтому все члены последовательности больше единицы, значит, т. е. рассматриваемая последовательность — монотонно возрастающая.

в) Числа являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, если

Воспользовавшись равенствами и получим, что

Поскольку по условию прогрессия не должна быть постоянной, то откуда Тем самым Так как при найденных значениях имеем то числа не будут последовательными членами никакой арифметической прогрессии.

г) Попробуйте понять, каким образом можно догадаться до следующего рассуждения. Если то причем при Следовательно, данная последовательность имеет число n (произвольное!) своим периодом.

Ответ: а) или в) наибольшее число последовательных членов данной последовательности, которые могут образовывать конечную арифметическую прогрессию, равно трем, а первый из них должен быть равен

Решение. а) По определению вероятность успешного ответа равна отношению числа способов выбора двух вопросов из тех, ответы на которые ему известны, к числу способов выбора двух вопросов из 16 вынесенных на зачет. Число способов выбора двух предметов из k различных равна биномиальному коэффициенту  — числу сочетаний из k по 2. Таким образом, если ученик знает ответы на p вопросов (причем по условию ), то вероятность его успешного ответа на оба поставленных вопроса равна

значит,

откуда и следует ответ.

б) Этот вопрос немногим сложнее предыдущего. Однако в нем имеется следующая психологическая трудность: неискушенному учащемуся может показаться очевидным, что в данных условиях ученик выучил ответы на половину из общего числа вопросов, и так и написать в своем решении, сославшись на некую «симметрию». Однако это «очевидное» — неверно.

Если ученик знает ответы на p вопросов, то выбрать пару вопросов, из которых ответ на один ему известен, а ответ на второй — нет, он может способами. Поэтому

в) Вероятность того, что он знает один случайно выбранный им вопрос, равна Число вариантов выбора им трех вопросов, ответы по крайней мере на два из которых ему известны, равно Поэтому условие задачи записывается неравенством

т. е. (после преобразований)

г) Решим задачу в общем виде. Вначале подсчитаем число способов разбить вопросов по n занумерованным билетам. Поскольку вопросы для первого билета можно выбрать способами, для второго — способами, и так далее, то общее число вариантов равно

Предположим теперь, что ученик знает ответы на p вопросов и найдем число «удачных» для него способов распределения вопросов по n билетам (здесь, конечно, ). Расставим вначале n вопросов из p известных по n билетам; это можно сделать способами. Оставшиеся n вопросов произвольным образом расставляем по билетам, что можно осуществить способами. В итоге имеем вариантов, однако необходимо учесть, что у нас окажется билетов, ответы на оба вопроса в каждом из которых ученику известны, и такие билеты мы сосчитали дважды. Поэтому число удачных вариантов равно а искомая вероятность есть

Подставив получим ответ.

Ответ: а) 15; б) 6; 10; в) г)

Решение. Конечно, можно записать, что однако всюду в дальнейшем нам потребуются лишь следующие два свойства этого числа:

Первое из них следует из разложения второе — из того, что ε — отличный от 1 кубический корень из 1.

а) Если и то откуда Следовательно, точка B получена из точки C поворотом на угол вокруг начала координат, совпадающего с вершиной A этого треугольника. Поэтому он — равносторонний.

б) Пусть произведен параллельный перенос на вектор, определяемый комплексным числом z. Тогда

Постоянство числа v проверяется аналогично.

в) В силу предыдущего пункта мы вправе считать, что точка A совпадает с началом координат, так что Если треугольник ABC — равносторонний, то точка B получается из точки C поворотом на угол в одном из двух направлений, значит, одно из чисел b и c получается из другого умножением на поэтому либо либо т. е. Для доказательства обратного утверждения надо просто проследить, что все рассуждения можно провести в обратном направлении (ср\. с решением первого пункта).

г) Опять-таки в силу пункта б) мы вправе предположить, что единичный круг имеет O своим центром. Следовательно, откуда Обратно, если положить где то поэтому любое комплексное число u, где является значением суммы для некоторой тройки чисел |a|, |b|, |c|. Модуль каждого из которых не превосходит единицы.

Ответ: а) равносторонний; г) круг радиусом 3 с центром в начале координат.