Решение. а) Подставив, получим уравнение:

Обозначим тогда:

Вернемся к исходным переменным:

б) Подставив, получим неравенство:

Обозначим тогда:

Найдем корни числителя: Учитывая, что получаем: при

в) Так как функция монотонна, для требуемого необходимо и достаточно монотонности функции на интервале Для производной

очевидно, что на интервале Выясним, при каких значениях a сохраняет на этом промежутке свой знак числитель. Изобразив (см. рис.) график функции на отрезке заключаем, что на интервале если и на интервале если

г) Очевидно, требуется найти такие a, что уравнение (*) не имеет положительных решений при каких-то b. Заметим, что

При (*), очевидно, не имеет решений.

Построим теперь эскизы графиков функции при различных Производная

Пусть Функция g возрастает на и на Учитывая поведение функции g при и при получаем рисунок слева.

Пусть Функция g возрастает на промежутках и и убывает на промежутках и Заметим, что

Учитывая поведение функции g при и при получаем рисунок справа.

Теперь ясно, что уравнение (*) при имеет положительные решения при всех b, а при не имеет положительных (и вообще любых) решений при

Ответ: а) {1}; б) в) или г)

Решение. а) После подстановки получаем т. е. т. к. при то на отрезках Так как

получаем ответ.

б) Выводим уравнение:

в) Изобразим график функции на отрезке (см. рис.). Теперь ясно, что уравнение имеет на этом отрезке ровно два решения, если или Таким образом, или

г) Предположим, что такой многочлен существует, т. е. при всех x, тогда

Осталось заметить, что функция очевидно четная, а функция  — нечетная (и, очевидно, не равная нулю тождественно) — противоречие.

Ответ: а) б) в)

Решение. а) Выводим неравенство:

Очевидно, все подходят, а при получаем:

б) Исследуем функцию f на монотонность, найдем производную:

Решим неравенство Для этого заметим, что на отрезке оно очевидно выполнено, на луче эквивалентно неравенству

С другой стороны, на луче эквивалентно неравенству

Решая эти неравенства, получаем, что на луче То есть функция f возрастает на луче и убывает на луче Также Заметим теперь, что:

В итоге получаем ответ.

в) Требуется доказать, что

Но из доказанного в пункте «б» ясно, что при

но тем самым на отрезке Но отсюда очевидно требуемое.

г) Пусть то есть т. е.

Заметим, что очевидно подходит. При остальных k получаем, что Но тем самым и Но корень из целого числа — число либо целое, либо иррациональное, поэтому, так как получаем, что Но Остается найти целые решения уравнений

Ответ: а) б) г) −3; 1.

Решение. а) Поскольку

то точка  — середина отрезка

б) Пусть Тогда (по условию ) Вектор имеет координаты а вектор  — координаты Таким образом, скалярное произведение

т. е. эти вектора перпендикулярны

в) Пусть, как выше Выводим: таким образом,

откуда следует, что отношение площадей будет наибольшим тогда, когда будет наибольшим отношение Но из рисунка справа ясно, что наибольшее значение выражения достигается, если лежит на касательной, проведенной из точки O к окружности, задаваемой уравнением Легко видеть, что при этом значение равно

г) Пусть данные точки не лежат на одной прямой. Достаточно показать, что отрезок виден из точек O и под равными углами и отрезок виден под равными углами из точек O и Но покажем, например, первое (второе аналогично). Для этого достаточно показать, что т. е. что

Ясно, что если или то все данные точки лежат на одной прямой. Однако:

Отсюда

Ответ: в)

Решение. а) Представим многочлен в виде Очевидно, что уравнение имеет вещественный корень, отличный от 1, только если  — четное число. Следовательно, число n  — нечетное.

б) Ясно, что

Остается лишь подставить

в) Многочлен p_n делится на если все корни последнего многочлена, т. е. кубические корни из −1, являются и корнями p_n, т. е. уравнения Но это означает, что

г) Доказательство проведем по индукции. При n=1 получаем:

Предположим, что утверждение верно при n, докажем его истинность при

Ответ: в)