Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 459

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

Дана функция f(x)=\dfrac4 в степени x минус a умножить на 2 в степени x 2 в степени x минус 1.

а) Пусть a= минус 2. Решите уравнение f(x плюс 1)=f(x).

б) Пусть a= дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби . Решите неравенство f(x) плюс f( минус x)\leqslant0.

в) Найдите все a, при которых функция f монотонна на луче ( минус принадлежит fty;0).

г) Найдите все a при которых существует b, такое что уравнение f(x)=b не имеет решений.

2.

Пусть f_n(x)= синус nx, n принадлежит \Bbb N.

а) Найдите все x принадлежит [1; 2], для которых f_5(x)\leqslant f_3(x).

б) Решите уравнение f_5(x)=2f_3(x).

в) Найдите все a, такие что уравнение f_3(x)=f_3(a) имеет ровно два решения на отрезке [0; Пи ].

г) Существует ли многочлен q, для которого q( синус x)=f_1996(x) при всех x принадлежит \Bbb R?

3.

3А. Дана функция f(x)= корень из x в степени 2 плюс x плюс 7 минус корень из x в степени 2 минус x плюс 1.

а) Решите неравенство f(x)\leqslant1.

б) Найдите множество значений функции f.

в) Докажите неравенство

 принадлежит t_0 в степени 1 \dfrac2f(x) dx плюс принадлежит t_0 в степени 1 f(x)dx\leqslant3.

г) Найдите все k принадлежит \Bbb Z, такие что f(k) принадлежит \Bbb Q.

4.

3Б. Будем обозначать через M(z) точку плоскости, соответствующую комплексному числу z. Рассмотрим точки A_i(z_i), i = 1, 2, 3, где z_1 не равно минус z_2 и z_3=\dfrac2z_1z_2z_1 плюс z_2.

а) Докажите, что если z_1, z_2 не равно 0, то точки B_i(z_i в степени ( минус 1) ), i = 1, 2, 3, лежат на одной прямой.

б) Докажите, что если z_2=\overline z_1 и z_1 не равно z_2, то треугольник OA_1A_3 — прямоугольный (O — начало координат).

в) Пусть z_2=\overline z_1, |z_1 минус 2|\leqslant1. Найдите наибольшее значение отношения площадей треугольников OA_1A_3 и OA_1A_2.

г) Докажите, что точки Ai, i = 1, 2, 3, и O лежат на одной окружности.

5.

3В. Положим p_n(x)=1 плюс x плюс \ldots плюс x в степени n .

а) Докажите, что многочлен pn имеет вещественные корни тогда и только тогда, когда число n нечетно.

б) Пусть z_1, z_2, \ldots, z_n — комплексные корни многочлена pn. Докажите, что (1 минус z_1)(1 минус z_2)\ldots(1 минус z_n)=n плюс 1.

в) Найдите все n, при которых многочлен pn делится на 1 плюс x в степени 3 .

г) Докажите, что

 \sum_k=0 в степени n C_n плюс 1 в степени (k плюс 1) p_k(x)=2 в степени n p_n(\tfracx плюс 12).