Решение. а) Подставим в это уравнение выражение для тогда

Найдем для начала ОДЗ уравнения. Ясно, что

Столь же ясно, что при x = 2 уравнение выполнено (поскольку а при x > 2 имеем

и поэтому функция определена при Более того, обе части уравнения неотрицательны. Возведем его в квадрат

Откуда или тогда или Первое невозможно (мы уже доказали, что при это выражение не меньше Второе дает x > 2, которое мы уже угадали.

б) Заметим, что определена при Значит, область определения этого неравенства определяется условиями и Первое неравенство после домножения на даст т. е. или При всех таких x второе неравенство выполнено. Также заметим, что на всей области определения монотонно возрастает (как композиция возрастающих функций). Поэтому неравенство из условия равносильно тому, что Домножим это неравенство на знаменатели (они положительны) и решим его:

У многочлена в левой части есть корень поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен Выделим его Корнями второго множителя будут Используя метод интервалов, получим

Учитывая ОДЗ, окончательно получаем

в) Из монотонности получим, что Для того, чтобы функция была определена, нужно потребовать то есть Преобразуем уравнение

Заметим, что при решений нет. при прочих a это уравнение сводится к и нужно еще, чтобы то есть чтобы Решим это неравенство:

получим

г) Обозначим и выразим все через b и d. Решим:

Сделаем во втором интеграле замену тогда причем отрезок проходится в обратную сторону. Далее, и неравенство запишется в виде

Теперь обозначим переменную интегрирования во втором слагаемом снова за x

Слева написан интеграл от функции по отрезку длиной t. Докажем, что все значения этой функции на данном отрезке не больше чем Тогда площадь под графиком не больше, чем наибольшее значение функции, умноженное на длину промежутка интегрирования и нужная оценка будет доказана

Возведем в квадрат (обе части неотрицательны):

Как известно, при неотрицательных x и y (это сводится к ), поэтому достаточно будет доказать, что

что верно. Неравенство доказано.

Ответ: а) б) в) при при остальных a решений нет.

Решение. а) Решим уравнение Домножим на знаменатель:

Значит, либо при откуда либо откуда

При всех этих x получим и поэтому все они — корни исходного уравнения.

б) Аналогично преобразуем неравенство:

Заметим, что функция, написанная в левой части, периодична с периодом поэтому достаточно решить неравенство при и затем повторять ответ с периодом

Решим неравенство на указанном промежутке. Числитель и знаменатель должны иметь разные знаки (числитель может быть нулем). Очевидно знаменатель положителен в первой и третьей четвертях и отрицателен во второй и четвертой. Числитель же положителен при и равен нулю в концах этого промежутка. Поэтому ответом на этом промежутке будет

А общий ответ

где

в) Функция имеет вид поэтому ее производная равна

Необходимо, чтобы она была отрицательна на промежутке Знаменатель положителен всегда, значит, числитель должен быть отрицателен. Разберем случаи.

Если то при получим

поэтому числитель стремится к положительному числу. Значит, в некоторой окрестности точки числитель окажется положительным.

Если то числитель положителен на всем промежутке.

Если то функция убывает на всем указанном промежутке (потому что на нем убывают и и ), поэтому необходимо и достаточно, чтобы неравенство выполнялось при или, что то же самое, чтобы выполнялось нестрогое неравенство при Получаем:

г) Преобразуем уравнение, домножив на знаменатель Сразу заметим, что если или то такие x не будут решениями этого уравнения, поэтому от такого домножения число решений не изменится. В частности, тоже не является корнем.

Функция

должна иметь три корня на отрезке длиной Но она периодична с периодом поэтому если ее график трижды пересечет горизонтальную ось, то окажется с другой стороны от нее. Поэтому единственная возможность получить нечетное число корней — это сделать так, чтобы как минимум в одном из корней график функции касался бы оси. Тогда и график функции тоже касается горизонтальной оси. То есть найдется точка, в которой и сама функция и ее производная обращаются в ноль. Возьмем производную и составим систему

Значит,

Домножим второе уравнение на и сложим уравнения. Получим

Поскольку сократим на него получим Аналогично можно получить, что Тогда

В обратную сторону. Допустим, что условие выполнено. Выберем тогда такое x, чтобы и Оно будет годиться в систему, останется объяснить, почему кроме него будет еще два ответа.

Ясно, что функция удовлетворяет условиям поэтому уравнение имеет корень на отрезке причем это другой корень, нежели тот специфический кратный. Дело в том, что если бы график функции для этого корня пересек бы ось, то корень был бы «кратности» не 2, а как минимум 3, то есть вторая производная тоже обнулялась бы. Но поэтому

Если и первое и последнее выражения равны нулю, то и их сумма, равная равнялась бы нулю, что невозможно по самому первому замечанию.

Итак, уже найден корень, котором график пересекает ось, значит, есть и второй такой корень, а еще есть корень для ситуации касания. Итого, уже найдено три корня, один из которых кратный.

Сделаем теперь в уравнении замену При t примет все значения, кроме нуля, ровно по одному разу. Получим уравнение

После домножения на знаменатель получим уравнение четвертой степени. Оно не может иметь других корней, кроме уже перечисленных соответствующих кратному корню и еще двум.

Ответ: а) б) где в)

Решение. Прежде чем излагать формальное (и очень простое) решение этой задачи, заметим, что данное в ее условии рекуррентное соотношение имеет ясный геометрический смысл. Именно: есть длина хорды единичной окружности, опирающейся на дугу вдвое меньшей длины, чем та, на которую опирается хорда длиной a_n. Из этого наблюдения сразу виден смысл утверждения пункта г)!

а) Действительно,

Осталось заметить, что

б) Так как то более того,

в) Если то но

г) Если то нетрудно доказать по индукции, что значит,

Ответ: б)

----------

Дублирует задание 2033.

Решение. а) Для того чтобы получить третью вершину равностороннего треугольника ABC, можно повернуть вершину B на угол вокруг начала координат — первой вершины этого треугольника (рис. 188). По геометрическому смыслу умножения комплексных чисел для этого достаточно умножить v на число

б) Имеем: поэтому данное уравнение можно записать в виде

в) Нет, не могут, поскольку

г) Данное тождество можно записать в виде

обозначив для удобства получим, что откуда Таким образом, числа a, b и c являются корнями уравнения так что В силу пункта а) треугольник ABC равносторонний.

Ответ: а) в) нет, не могут.

----------

Дублирует задание 2034.

Решение. а) Если прямая  — касательная, то уравнение имеет одно решение, откуда и следует ответ.

б) Имеем (см. рис.):

в)  Пусть  — расстояние от точки графика с абсциссой x до данной точки M. Тогда и

значит,  — точка, в которой достигается наименьшее значение этой функции.

г) Обозначим через () абсциссы точек пересечения графика функции f с осью абсцисс (см. рис.). Площадь S сегмента вычисляется по формуле

Ответ: а) −2; 6; б) в) точка г) (при ).

----------

Дублирует задание 2035.