Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 457

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

Дана функция f(x)= корень из логарифм по основанию 2 x.

а) Решите уравнение f левая круглая скобка 2x в степени 2 плюс \dfrac12 правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби x правая круглая скобка }=f левая круглая скобка 4x плюс \dfrac1x правая круглая скобка .

б) Решите неравенство f левая круглая скобка дробь: числитель: 4 минус x в степени 2 , знаменатель: 1 плюс x в степени 2 конец дроби правая круглая скобка \leqslant f левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка

в) Решите уравнение f(2x в степени a )=f(4x) при всех a принадлежит \Bbb R.

г) Числа a, b, c образуют возрастающую геометрическую прогрессию (a\geqslant}1). Докажите, что

дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: c минус a конец дроби принадлежит t_a в степени c f(x) dx\geqslant} f(b).

2.

Дана функция f(x)=\dfraca косинус x плюс \dfracb синус x.

а) Пусть a=1, b= корень из 3 . Решите уравнение f(x)=4.

б) При тех же значениях a и b решите неравенство f(x)\geqslant}0.

в) Пусть a=1. Найдите все такие значения b, что данная функция убывает на интервале левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

г) Пусть a больше 0, b больше 0. Докажите, что уравнение f(x)=1 имеет ровно три решения на отрезке [0; 2 Пи ] тогда и только тогда, когда a в степени (\textstyle дробь: числитель: 2, знаменатель: !3 конец дроби ) плюс b в степени (2/\!3) =1.

3.

3. Дана последовательность \a_n\_n=1 в степени ( принадлежит fty) , где

a_n плюс 1= корень из 2 минус корень из 4 минус a_n в степени 2 , a_1=c больше 0.

а) Докажите, что при всех n принадлежит \Bbb N выполнены неравенства корень из 2 \leqslant}\dfraca_na_n плюс 1\leqslant}2.

б) Докажите, что последовательность \a_n\ убывает, и вычислите предел \lim\limits_n\to принадлежит ftya_n.

в) Пусть c=1. Докажите, что все числа an, n\geqslant}2, иррациональные.

г) Пусть c=2. Докажите, что \lim\limits_n\to принадлежит fty2 в степени n a_n=2 Пи .

4.

4.  Пусть A(u), B(v), C(w) — точки плоскости, изображающие комплексные числа u, v, w.

а) Пусть u=0, v=1 плюс i. Найдите все такие w, что треугольник ABC равносторонний.

б) Пусть u=0, v=1 плюс 2i, а число w является корнем уравнения z в степени 2 =(1 плюс 2i)z плюс 3 минус 4i. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

в) Известно, что треугольник ABC равносторонний. Могут ли действительные и мнимые части всех чисел u, v и w быть рациональными одновременно?

г) Докажите, что если u в степени 2 плюс v в степени 2 плюс w в степени 2 =uv плюс vw плюс wu, то треугольник ABC равносторонний.

5.

5. Дана функция f(x)=4 плюс ax минус x в степени 2 , прямая \ell, заданная уравнением y=2x плюс 8, и точка A(0, 4).

а) Найдите все значения a, при которых прямая \ell касается графика функции f.

б) Пусть P и Q — точки касания прямой \ell с графиками y=f(x) (при найденных в предыдущем пункте значениях a). Вычислите площадь криволинейного треугольника, ограниченного отрезком PQ и дугами AP, AQ этих графиков.

в) Пусть a=2. Найдите точку графика функции f, ближайшую к точке M левая круглая скобка минус 3, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

г) Найдите наименьшее значение площади сегмента, ограниченного графиком функции f и осью абсцисс.