Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 456

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 2

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

Дана функция f(x)= логарифм по основанию \tfracx !3x минус логарифм по основанию 3 x.

а) Докажите, что числа x и  дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби входят (либо не входят) в область определения функции f одновременно и f левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка = минус f(x).

б) Решите уравнение |f(x)|=f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

в) Докажите, что для любого натурального числа n\geqslant 2 уравнение f(x)=f(x в степени n ) имеет ровно одно решение на промежутке (0; 1].

г) Найдите все такие a, при которых уравнение f(x)=a логарифм по основанию 3 в степени 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби имеет три решения.

2.

Дана функция f(x)= косинус ax минус косинус 2ax.

а) Пусть a = 1. Решите уравнение f(x)=f(3x).

б) Найдите все такие a, при которых f( Пи ) больше 0.

в) Найдите все такие a, для которых f(x) больше 0 при всех x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

г) Найдите все такие a, при которых график функции f имеет центр симметрии.

3.

3. Дана функция f(x)=ax минус 2 корень из x плюс 1, a больше 0.

а) Найдите все такие a, при которых функция f монотонна на луче [0; плюс принадлежит fty).

б) Пусть a=1. Найдите уравнения касательных к графику данной функции, проходящих через точку A(5, 0).

в) Пусть a=1. Найдите все точки оси абсцисс, через которые проходит ровно одна касательная к графику функции f.

г) Найдите (при произвольном a больше 0) такое значение x_0, при котором фигура, ограниченная прямой, касающейся графика функции f в точке с абсциссой x_0, самим этим графиком и прямыми x= минус 1, x=2, имеет наименьшую площадь.

4.

4. Пусть a, b, c — длины некоторых отрезков.

а) Докажите, что если a=\root 6 \of2, b=\root 6\of 3, c=\root 6 \of 7, то треугольник, который можно составить из этих отрезков, остроугольный.

б) Выясните, существует ли треугольник со сторонами a=19 в степени (21) , b=20 в степени (21) , c=21 в степени (21) .

в) Докажите, что если для любого натурального числа n существует треугольник со сторонами a^n, b^n, c^n, то все эти треугольники равнобедренные.

г) Пусть \varphi_n — угол треугольника со сторонами a=1, b=\root n \of2, c=\root n \of4 (n\geqslant}2), лежащий против средней из них. Докажите, что последовательность \\varphi_n\ монотонна, и вычислите ее предел.

5.

5. Пусть A(i минус 1), B(2i минус 1), C(2 минус 3i) — точки плоскости, соответствующие указанным комплексным числам, \Cal S — окружность |z|=1, а \Cal D — множество комплексных чисел, заданное неравенством |2z минус 1| \leqslant} 1.

а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки P принадлежит \Cal S до точек A, B, C постоянна.

б) Изобразите на плоскости точки A, B и множество комплексных чисел вида z(2i минус 1) плюс (1 минус z)(i минус 1), где z принадлежит \Cal D.

в) Найдите такую точку E принадлежит \Cal D и все такие равносторонние треугольники с вершинами на \Cal S, для которых сумма квадратов расстояний от их вершин до E наибольшая.

г) Выясните, верно ли, что для всякой точки w, лежащей в треугольнике ABC, найдется такое число z принадлежит \Cal D, что w=z z_k плюс (1 минус z)z_j, где z_k, z_j принадлежит \i минус 1, 2i минус 1, 2 минус 3i\.