Решение. а) Для того, чтобы функция была определена, необходимо и достаточно, чтобы x, и были положительны и то есть чтобы Ясно, что если x таково, то и таково и наоборот, поскольку Далее, при всех x, при которых функция определена, имеем

Обозначим тогда и нужно доказать, что

что верно.

б) Сделав ту же замену, получим уравнение (учитывая, что ):

Разберем два случая. Если то

Откуда или Если то

Откуда или

в) Заметим, что поэтому после той же замены получаем По условию тогда

тогда t = 0 (ему соответствует x = 1) подходит. При прочих t можно сократить на t, получим

поскольку можно поделить на Итого Очевидно, при это выражение положительно, поэтому других корней на не будет.

г) Сделав аналогичную замену и учитывая, что

получим уравнение Обозначим теперь откуда Заметим, что тогда и каждому положительному значению x соответствует единственное значение y, поэтому количество решений не меняется от этой замены. Уравнение превращается в такое

Теперь нужно узнать, какие значения функция принимает три раза. Исследуем ее на монотонность. Возьмем производную:

Значит, эта функция возрастает при то есть на промежутках и и убывает на промежутках и При этом

Кроме того,

Значит, функция на своих промежутках монотонности принимает по одному разу все значения из промежутков затем затем затем Поэтому три раза принимаются значения из множества

Ответ: б) г)

Решение. а) Запишем уравнение в виде и преобразуем его:

Можно выписать все корни на интервале (поскольку с периодичностью повторяются корни всех трех уравнений), чтобы потом не выписать один и тот же корень дважды. Получим 0; 0; После удаления повторов получим 0; Окончательно, и где

б) После подстановки получим

Обозначим тогда

где Тогда

где

в) Будем действовать аналогично. Решим неравенство т. е. Обозначим тогда

Отсюда Поскольку то вместе с каждым подходящим a подходит и поэтому можно исследовать только Кроме того, при получим поэтому не подходит.

При получим и при всех Поэтому неравенство выполнено.

При получим поэтому точка в которой нарушается неравенство, тоже попадет среди чисел вида ax при Такие a не подходят.

При длина промежутка составит

Но как следует из промежуточных результатов предыдущего пункта, это неравенство верно на промежутках длиной а именно промежутках вида или Поэтому все точки большего по длине промежутка не могут подходить в неравенство.

г) Сразу отметим, что при график — горизонтальная прямая. Она имеет центр симметрии. В остальных случаях снова сделаем замену

Обозначим тогда получим выражение представляющее собой квадратный трехчлен. Поэтому множество его значений при устроено так — наибольшее значение он имеет при и оно равно

а наименьшее — на одном из концов отрезка и оно равно поэтому наименьшее значение это −2.

При центральной симметрии относительно какой-либо точки координата по оси y тем меньше, чем больше она была раньше. Поэтому точки с минимальной координатой по y должны переходить в точки с максимальной и наоборот, а y — координата центра симметрии должна быть равна

Далее, график получается из графика сжатием вдоль оси абсцисс в a раз. Это сжатие не влияет на наличие или отсутствие центра симметрии. Поэтому либо при всех есть центр симметрии, либо его нет. Будем теперь считать, что

Рассмотрим теперь точки В них обеих функция принимает наибольшее значение, а расстояние между ними составляет После центральной симметрии они должны превратиться в две точки, где функция принимает наименьшее значение, отстоящие друг от друга на такое же расстояние. Но точки, где отстоят друг от друга не меньше, чем на Противоречие.

Ответ: а) б) где в) г) 0.

Решение. а) Поскольку на луче то

б) Подставив в уравнение после небольших преобразований приходим к уравнению откуда t = 3; 8.

в) Касательная в точке графика проходит через точку если

Таким образом, точка входит в искомое множество, если полученное уравнение имеет одно решение. Удобно сделать замену приводящую к квадратному уравнению Оно имеет единственное положительное решение, если Если т. е. то его решение единственно, однако при оно отрицательно. Исследование квадратного уравнения можно провести по-другому, записав его в виде и построив график при (см. рис).

Заметим, наконец, что сам ответ понятен из геометрических соображений, если мы посмотрим на график данной функции (см. рис).

г) Интересно, что вычисления проще проводить для произвольной выпуклой функции f. Площадь заштрихованной на рисунке фигуры определяется по формуле

так что

откуда и следует, что  — точка минимума функции S.

Ответ: а) б) и в) г)

----------

Дублирует задание 2016.

Решение. а) Имеем: так как

б) Имеем:

в) Пусть Если то

в частности, начиная с некоторого номера k, что противоречит неравенству треугольника.

г) Так как

при то Далее, положив получим, что  — монотонная на функция.

Ответ: б) нет, не существует.

----------

Дублирует задание 2017.

Решение. а) Проведем вычисления в общем виде, считая, что точки A, B, C соответствуют комплексным числам z₁, z₂, z₃, где

б) Множество заданное неравенством\linebreak является кругом, диаметр которого совпадает с отрезком вещественной оси. Так как

то искомое множество получается из путем его поворота на угол (умножение на i) и параллельного переноса на вектор, соответствующий

в) Если z₁, z₂, z₃ — вершины лежащего на окружности S равностороннего треугольника, то поэтому

(см. пункт а)) и при реализуется в точке

г) Множество точек указанного в задаче вида, как следует из рассуждения пункта б), является кругом с диаметром Три круга, построенные на отрезках AB, BC и AC как на диаметрах, накрывают этот треугольник хотя бы потому, что он тупоугольный.

Ответ: б) см. рис.; в) E соответствует треугольник — произвольный; г) да, верно.

----------

Дублирует задание 2018.