PDF-версии: Дана функция 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) Пусть 
Решите неравенство 
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
что При каких a это уравнение имеет решение?
г) Найдите все такие 
при которых для любого натурального числа n уравнение 
имеет решение.
Решение. а) Запишем уравнение в виде 
тогда
Однако 
не подходит, поскольку для него 
Для второго корня все определено.
б) Запишем неравенство в виде 
Сразу отметим, что 
где 
и 
Первое неравенство дает 
тогда последнее дает 
откуда 
и тогда выполнено автоматически. Приведем неравенство к виду, удобному для рационализации и рационализируем его.
У многочлена в числителе есть корень 
поэтому многочлен раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Множители 
и 
положительны при 
поэтому они не оказывают влияния на знак выражения и на них можно сократить 
Корнями уравнения 
будут 
поэтому множество решений неравенства — отрезок 
Ясно, что 
Следовательно, учитывая неравенство 
в) Уравнение 
сводится к 
при условии 
то есть 
или и условии 
откуда 
то есть 
Другие условия для определенности 
писать не надо, поскольку в силу уравнения 
поэтому обе чаcти одновременно положительны и одновременно не равны 1. Отметим, что если бы это было не так, то условие 
не требовалось бы, зато следовало бы написать 
Значит, 
Это уравнение задает параболу с вершиной при 
и 
с которой надо взять точки, получающиеся при
г) Уравнение 
на ОДЗ сводится к
или (при условии 
) к 
Рассмотрим функцию
Рассмотрим случай 
Тогда 
откуда 
Поскольку также то 
В таком случае
и условие выполнено автоматически. Докажем тогда, что 
при 
— отсюда будет следовать отсутствие решений. Тогда
Рассмотрим случай a > 0. Тогда условие 
дает 
поэтому функция определена на отрезке 
за исключением точки 
(при таком x получим 
что невозможно). При этом
поэтому найдется такое x, при котором 
причем это рассуждение работает при всех натуральных n.
Остался последний вопрос. Не окажется ли это самое x случайно равно 
Подставим такое x. Допустим, 
тогда 
и 
итого 
т. е. 
Поскольку нас интересует лишь положительное a, остался случай 
Попробуем при таком a решить изначальное уравнение при 
Заметим, что 
тогда
тогда
Отсюда
или
Однако для первого корня получим
поэтому логарифм не определен, а для второго корня получим
и логарифм снова не определен. Поэтому у уравнения нет корней при
Ответ: 
и поверхностью, получаемой при вращении графика функции f вокруг прямой 
(лежащей в плоскости Oxy). При каком m объем этого тела будет наименьшим?
тогда 
Получаем
или 
Первое невозможно, поскольку 
Второе же дает 
где 
Осталось выбрать 
Ясно что 
поэтому 
Отсюда следует, что подходит только 
Функция 
непрерывна. Найдем ее корни, тогда на промежутках между ними она знакопостоянна. Тогда 
и 
При этом на соседних промежутках знаки различны: 
получаем 
и 
поэтому 
Осталось выбрать из этих промежутков самый длинный. Очевидно это первый, его длина составляет 
и 
и 
и 
Таким образом, мы знаем наименьшее и наибольшее значение на каждом промежутке монотонности и, значит, знаем и все принимаемые значения.
— ни одного решения. При 
— одно решение. При 
— три решения. При 
— четыре решения. При 
— два решения. При 
— ни одного решения.
поэтому сечением тела будет круг радиуса 
и площади 
и объем тела будет равен
Поэтому ответ равен 
не равной двум, пересечет этот график еще в одной точке. Найдите абсциссу этой точки.
и 
— и точки их пересечения с графиком — 
и 
Площади, о которых идет речь, равны, соответственно, интегралам 
и 
Вычислив их, получим одно и то же значение, а именно 
— некоторая точка графика. Точка, симметричная ей относительно 
имеет координаты 
и лежит на графике данной функции, если 
что проверяется непосредственно.
— линейная функция, график которой — данная касательная к графику функции f. Стандартные вычисления показывают, что 
это можно сделать непосредственно.
имеет своим корнем 
получим квадратное уравнение 
и 
абсциссы которых равны, соответственно, 
и 
Считаем для определенности 
и предположим, что 
Проведем через точку A прямую, параллельную LM (см. рис), пусть 
и c — абсциссы точек ее пересечения с графиком, 
Предположим для определенности, что прямая LM лежит выше AB. Кажется очевидным (и попробуйте это аккуратно доказать), что 
следовательно, 
Попробуйте выяснить, достаточно ли потребовать непрерывности функции f и того, что всякая прямая пересекает ее график не более чем в трех точках.
Получим график функции 
пересекает график f в точках с абсциссами 
то поскольку эти числа являются корнями уравнения 
то 
Если точка с абсциссой 
— середина отрезка, соединяющего две другие, то 
значит, 
и 
Утверждение 3г доказано. Далее, если прямая 
касается графика в точке с абсциссой 
(см. решение задачи 2в варианта 1). Приравняв коэффициенты в обеих частях этого равенства, получим, что 
и 
так что 
по формулам Виета, однако в этом случае требуется дополнительный разговор, связанный с понятием кратного корня.
— целые неотрицательные, определены равенствами 
и 
при 
чисел 
для которых неравенство 
выполняется ровно для k значений 
, называемых числами Эйлера и определенных при помощи рекуррентного соотношения, напоминающего соотношение между биномиальными коэффициентами.
в силу соотношения симметрии предыдущего пункта, отсюда ответ — 12.
Действительно, 
перестановок указанного вида выполняются те же соотношения, которыми определялись числа Эйлера, поэтому 
верно неравенство 
то 
— перестановка с k инверсиями, под которыми мы понимаем такие 
Предположим, что 
получающуюся из исходной вычеркиванием элемента al, так что 
при 
и 
при 
Ясно, что число инверсий в полученной таким образом перестановке 
равно 
Следовательно, для некоторых 
Поэтому исходная перестановка 
может иметь k инверсий, 
-перестановку с 
инверсией, равно 
Рассуждая аналогично, получаем, что число n-перестановок с k инверсиями, получающихся из 
таким образом, 