Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 453

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1993 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

Дана функция f(x)= логарифм по основанию a плюс 2x (x в степени 2 минус 1).

а) Пусть a=0. Решите уравнение f(x)=1.

б) Пусть a= минус 1. Решите неравенство f(x)\geqslant} минус 1.

в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар (x, a), что f(x)=1. При каких a это уравнение имеет решение?

г) Найдите все такие положительные a, при которых для любого натурального числа n уравнение f(x)=n имеет решение.

2.

Дана функция f(x)= синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус 2x, x принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

а) Решите уравнение f(x)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

б) Найдите наибольшую длину промежутка монотонности функции f.

в) Сколько решений (в зависимости от a) имеет уравнение f(x)=a?

г) Дано тело, ограниченное плоскостями x=0, x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби и поверхностью, получаемой при вращении графика функции f вокруг прямой y=m, лежащей в плоскости Oxy. При каком m объем этого тела наименьший?

3.

Дана функция f(x)=6x в степени 2 минус x в степени 3 .

а) Докажите, что фигуры, ограниченные отрезками горизонтальных касательных к графику функции f и дугами этого графика между точками его пересечения с касательными, имеют равные площади.

б) Докажите, что график функции f симметричен относительно точки A(2,16).

в) Докажите, что прямая, касающаяся графика функции f в точке с абсциссой x_0, не равной двум, пересечет этот график еще в одной точке. Найдите абсциссу этой точки.

г) Докажите, что прямая, пересекающая график функции f в трех точках, одна из которых является серединой отрезка между двумя другими, проходит через точку A.

4.

4. Пусть S — множество комплексных чисел, модуль которых равен единице.

а)Докажите, что все решения уравнения z в степени 6 плюс z в степени 3 плюс 1=0 принадлежат множеству S.

б) Найдите все решения уравнения 2z в степени 3 плюс iz в степени 2 плюс 2iz=1, которые лежат в S.

в) Найдите все действительные a, при которых уравнение z в степени 6 плюс z в степени 2 =a имеет решения, лежащие в S.

г) Найдите все значения c принадлежит S, при которых уравнение z в степени 6 плюс z в степени 2 =c имеет решения, лежащие в S.

5.

5. Числа E_n^k, где n, k — целые неотрицательные, определены равенствами E_n в степени k =(k плюс 1)E_n минус 1 в степени k плюс (n минус k)E_n минус 1 в степени (k минус 1) , E_n в степени 0 =1 и E_n в степени k =0 при k\geqslant} n.

а) Докажите, что E_n в степени k =E_n в степени (n минус k минус 1) .

б) Найдите отношение  дробь: числитель: E_11 в степени 5 , знаменатель: \!E_10 конец дроби в степени 5 .

в) Докажите, что для любых натуральных чисел p и n верно тождество

p в степени n =E_n в степени 0 C_p в степени n плюс E_n в степени 1 C_p плюс 1 в степени n плюс ... плюс E_n в степени (n минус 1) C_p плюс n минус 1 в степени n .

г) Докажите, что E_n^k совпадает с числом таких перестановок a_1, a_2, \ldots, a_n чисел 1, 2, \ldots, n, для которых неравенство a_i больше a_i плюс 1 выполняется ровно для k значений i принадлежит \lbrace 1, 2, \ldots, n минус 1\rbrace.