Готово, можно копировать.
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 452

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 2

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

Дана функция f(x)= логарифм по основанию 2 x логарифм по основанию ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 в степени 7 x логарифм по основанию 4 дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 в степени (16) конец дроби .

а) Решите неравенство f(x) больше или равно 0.

б) Решите уравнение f(x)=f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка .

в) При каких значениях a уравнение f(x)=a имеет ровно два различных корня?

г) Пусть n(b), где b больше 0 и b не равно 1, — число различных корней уравнения f(x)=f(bx). Постройте график функции n.

2.

Даны функции f(x)= синус x, g(x)= косинус 2x.

а) Вычислите площадь фигуры, которая ограничена графиками данных функций и прямыми x= Пи и x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

б) Пусть A(m) и B(m) — точки пересечения прямой x=m с графиками функций f и g. При каких m длина отрезка с концами в этих точках равна единице?

в) Существует ли отрезок, концы которого лежат на графике функции f, а середина совпадает с точкой M левая круглая скобка дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка ?

г) Изобразите на координатной плоскости множество середин отрезков, концы которых лежат на графике функции f.

3.

3. Последовательность \x_n\ задана формулой x_n=nx_n минус 1 минус 1, а x_0=c.

а) Докажите, что если c меньше или равно 1, то данная последовательность монотонна.

б) Докажите, что если c больше 2, то при всех натуральных n верно неравенство |x_n/n!| меньше или равно c.

в) Докажите, что если последовательность \x_n\ сходящаяся, то она стремится к нулю.

г) Докажите, что если число c рационально, то эта последовательность не имеет конечного предела.

4.

4. Пусть A(2z плюс 1), B(z плюс 2), C(z в квадрате плюс 2z) — точки плоскости (здесь z — комплексное число).

а) Докажите, что если |z|=1, то OA=OB (O — начало координат).

б) Докажите, что треугольник

ABC подобен треугольнику с вершинами в точках 0, 1 и  минус (z плюс 1) комплексной плоскости.

в) Пусть |z|=1. Найдите множество значений радиусов окружностей, описанных около треугольника ABC.

г) При каком значении z, где |z|=1, площадь треугольника ABC принимает наибольшее значение?

5.

5. Назовем расстоянием между точками поверхности параллелепипеда длину кратчайшей ломаной на его поверхности, соединяющей эти точки. Пусть E и W — противоположные вершины параллелепипеда.

а) Найдите расстояние между вершинами E и W единичного куба.

б) При каких значениях a и b расстояние между вершинами E и W прямоугольного параллелепипеда единичного объема с длинами ребер a, a, b будет наименьшим?

в) Докажите, что расстояние между любыми парами точек поверхности единичного куба не превосходит расстояния между точками E и W.

г) Найдите длины ребер прямоугольного параллелепипеда единичного объема, расстояние между вершинами E и W которого принимает наименьшее значение.