1.
Дана функция 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) При каких значениях a уравнение 
имеет ровно два различных корня?
г) Пусть 
где 
и 
— число различных корней уравнения 
Постройте график функции n.
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 452
Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 2
Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
; 
2.
Даны функции 
а) Вычислите площадь фигуры, которая ограничена графиками данных функций и прямыми 
и 
б) Пусть 
и 
— точки пересечения прямой 
с графиками функций f и g. При каких m длина отрезка с концами в этих точках равна единице?
в) Существует ли отрезок, концы которого лежат на графике функции f, а середина совпадает с 
г) Изобразите на координатной плоскости множество середин отрезков, концы которых лежат на графике
получим 
поэтому 
то есть график 
проходит выше графика 
Значит,
получим 
поэтому уравнение 
решений не имеет. Все остальные корни лежат на отрезке [−1; 1] и дают корни 
т. е. 
где 
т. е. 
и 
где 
т. е. 
и 
где 
и 
(концы отрезка симметричны относительно его середины). Тогда получим систему двух уравнений с двумя неизвестными
или 
поскольку 
и 
В принципе, можно было попробовать угадать этот ответ. Но в последнем пункте нам понадобятся идеи, придуманные в этом.
является серединой отрезка 
и 
Составим систему уравнений:
Если у этого уравнения есть решение, то подставляя его в первое уравнение системы мы определим y и построим таким образом интересующий нас отрезок.
решения есть только при 
при прочих a получаем 
поэтому для разрешимости уравнения необходимо и достаточно, 
В эту формулу в том числе подходят и ситуации с 
Таким образом, нужно построить графики 
и взять все точки, лежащие между ними (cм. рис.).
3.
3. Последовательность 
задана формулой 
а 
а) Докажите, что если 
то данная последовательность монотонна.
б) Докажите, что если 
то при всех натуральных n верно неравенство 
в) Докажите, что если последовательность сходящаяся, то она стремится к нулю.
г) Докажите, что если число c рационально, то эта последовательность не имеет конечного предела.
то 
и 
следовательно, 
Нетрудно доказать по индукции, что 
Неравенство 
имеет вид 
или 
что верно.
то 
далее, 
Если неравенство 
(
) верно, то 
значит, 
при всех натуральных n. Наконец, 
поэтому, если 
то 
значит, 
тогда 
xq — целое и, более того, все члены xn, где 
также являются целыми. Так как 
то 
при всех 4.
4. Пусть 
, 
, 
— точки плоскости (здесь z — комплексное число).
а) Докажите, что если 
то 
(O — начало координат).
б) Докажите, что треугольник
подобен треугольнику с вершинами в точках 
, 1 и 
комплексной плоскости.
в) Пусть 
Найдите множество значений радиусов окружностей, описанных около треугольника 
г) При каком значении z, где 
, площадь треугольника ABC принимает наибольшее значение?
— комплексно сопряженное к z число.
где точкам 
и 
соответствуют комплексные числа 
и 
переводит треугольник с вершинами в точках 0, 1 и 
в подобный ему треугольник OB1C1, равный треугольнику ABC. Коэффициент подобия 
значит, (см. пункт а)), точка O — центр описанной около данного треугольника окружности с радиусом 
При 
треугольник вырождается, при остальных значениях z, где 
поэтому для площади S подобного ему треугольника ABC (см. пункт б)) получаем формулу 
а ![\varphi принадлежит [0; 2 Пи ].](https://urok.sdamgia.ru/formula/44/444d2b02356ee50161fa512f7f153314p.png)
Достаточно рассматривать случай, когда ![\varphi принадлежит [0; Пи ],](https://urok.sdamgia.ru/formula/2f/2fe72785528e233b2f71b457dee6dd49p.png)
тогда 
производная примет вид 
при 
получим 
Ясно, что значение 
является наибольшим.
5.
5. Назовем расстоянием между точками поверхности параллелепипеда длину кратчайшей ломаной на его поверхности, соединяющей эти точки. Пусть E и W — противоположные вершины параллелепипеда.
а) Найдите расстояние между вершинами E и W единичного куба.
б) При каких значениях a и b расстояние между вершинами E и W прямоугольного параллелепипеда единичного объема с длинами ребер a, a, b будет наименьшим?
в) Докажите, что расстояние между любыми парами точек поверхности единичного куба не превосходит расстояния между точками E и W.
г) Найдите длины ребер прямоугольного параллелепипеда единичного объема, расстояние между вершинами E и W которого принимает наименьшее значение.
и 
(См. пункт г)).
Предположим, что они находятся на противоположных гранях. Обернем кубик полоской шириной единица и длиной четыре, начиная от точки A. Так как B попадет в одну из двух ее половин, то 
и 
(см. рис.), а образы путей которых на развертках параллелепипеда являются отрезками. Поскольку 
и 
то 
если 
и 
и 
Осталось заметить, что в этом случае 
и 
а третье — 