Решение. а) Обозначим и запишем неравенство в виде или Второй множитель всегда положителен, поскольку дискриминант трехчлена отрицателен. Поэтому неравенство равносильно т. е. или

б) Аналогично обозначим и запишем уравнение в виде или У многочлена в левой части есть корень поэтому он раскладывается на множители, один из которых равен Выделим его:

Тогда или откуда или

в) Выполнив аналогичную замену, получим, что неравенство верно при поскольку при значения t заполняют луч Разделим неравенство на получим при Поскольку функция  — квадратный трехчлен, возрастающий при достаточно чтобы это неравенство выполнялось при Тогда т. е.

г) Выполнив аналогичную замену, получим уравнение причем каждому его корню соответствует ровно один корень исходного уравнения. Исследуем функцию Возьмем ее производную:

что положительно при или и отрицательно при Значит, возрастает на и на и убывает на Далее, и тогда и

То есть на промежутках функция принимает, соответственно, все значения из промежутков и

Теперь ясно, сколько раз функция принимает каждое конкретное значение a и получить количество решений уравнения при три решения, при или два решения, при прочих a одно решение.

Ответ: а) б) в) при г) при три решения, при или два решения, при прочих a одно решение.

Решение. а) Преобразуем уравнение

б) Второе уравнение дает

Первые положительные корни будут Очевидно не является корнем уравнения а является его корнем.

в) Запишем функцию в виде и обозначим Тогда и нам нужно найти множество значений функции на этом промежутке. Очевидно наименьшее значение этот квадратный трехчлен принимает при

а наибольшее — на одном из концов отрезка. При получим При получим

При получим

г) Докажем, что ответ 0. Прежде всего заметим, что при то есть при т. е. Значение функции равно нулю, то есть значения, равные нулю, повторяются через каждый промежуток длиной поэтому попадутся на каждом промежутке длины

С другой стороны, на отрезке эта функция не принимает положительных значений. В самом деле, при получим и поэтому При и имеем Наконец, при получим и поэтому

Ответ: а) б) в) г) 0.

Решение. а) Искомое расстояние равно длине отрезка AK (см. рис).

б) Так как то и поэтому искомое множество — это срединный перпендикуляр к отрезку AB, т. е. прямая CD.

в) Поскольку  — точки единичной окружности с центром в начале координат, то геометрически умножение на и  — это повороты на углы и Так как отрезок BC симметричен относительно нуля, то образы U и V при этих поворотах совпадают.

г) Если z — точка отрезка AC, то где откуда Следовательно, образ отрезка AC — множество точек где и Значит, причем т. е. искомый образ — дуга параболы между точками с координатами и

Ответ: а) 1; б) см. рис.; в) см. рис.; г) см. рис.

Решение. а) Искомая площадь (см. рис) равна

б) Так как то и а площадь s криволинейного треугольника AOC равна

в)  Пусть a и b — абсциссы точек M и N, тогда Площадь фигуры (трапеции) равна

Из геометрических соображений ясно, что разность наибольшая при откуда и (Иначе:

г) Поскольку то g дифференцируема, поэтому, продифференцировав данное равенство, получим, что откуда Таким образом,

или По условию значит, и

Ответ: б)

----------

Дублирует задание 2007.

Решение. а) Так как то если x_n — целое, то  — четное, значит,  — нечетное число.

б) Пусть тогда и если

в) Если  — геометрическая прогрессия, то значит,

Однако равенство  — лишь необходимое условие, и, проверяя, видим, что при т. е. в таком случае не есть геометрическая прогрессия.

г) Докажем по индукции, что и откуда и будет следовать, что конечного предела у последовательности нет. Действительно, если то

Ответ: б) −1; 3 в)

----------

Дублирует задание 2008.