Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 449

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1991 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

Дана функция f(x)= логарифм по основанию 2 в степени 3 x минус 3 логарифм по основанию 2 в степени 2 x.

а) Решите неравенство f(x)\geqslant 0.

б) Решите уравнение f(x)= минус 4.

в) Выясните, при каких значениях a неравенство f(x) меньше a логарифм по основанию 2 x выполняется при всех x из отрезка [2, \4 корень из 2 ].

г) Выясните, сколько корней имеет уравнение f(x)=a в зависимости от a.

2.

Дана функция f(x)= синус x синус 3x.

а) Решите уравнение f(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

б) Найдите наименьшее положительное решение системы \left\{\aligned f(x)=0, косинус 5x=1. \endaligned .

в) Найдите область значений функции f.

г) Пусть g(t) — наименьшее значение f на отрезке  левая квадратная скобка t; t плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Найдите наибольшее значение функции g на множестве вещественных чисел.

3.

3. Даны три комплексных числа: z_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ( корень из 3 плюс 3i), z_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ( минус корень из 3 плюс i),\break z_3= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ( корень из 3 минус i).

а) Найдите расстояние от точки z_1 до фигуры, задаваемой уравнением |z минус z_3|=1.

б) Изобразите множество точек z комплексной плоскости, таких, что |z_2z минус z_1z_2|=|z_3z минус z_2z_3|.

в) Пусть z пробегает все точки отрезка с концами z_2, z_3, а U и V — множества точек, которые пробегают при этом u=z_2z и v=z_3z. Изобразите пересечение множеств U и V.

г) Пусть z пробегает все точки отрезка с концами z_1, z_3. Изобразите множество всех точек, которое пробегает при этом w=z в степени 2 .

4.

4. Дана функция f(x)= корень из x . Точки пересечения прямой x=m с графиком функции f и осью абсцисс обозначаются соответственно A(m) и B(m), касательная к графику в точке A(m) обозначается l(m).

а) Докажите, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямой x=m, равна  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби mf(m).

б) Пусть C — точка пересечения прямой l(m) с осью абсцисс. Найдите отношение площадей криволинейного треугольника AOC и прямолинейного ABC.

в) Пусть M и N — точки графика функции f, такие, что прямая MN параллельна l(4). Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямой MN, осью абсцисс и перпендикулярами к ней из точек M и N, не превосходит 32.

г) Пусть y=g(x) — непрерывная неотрицательная функция, определенная на [0; плюс принадлежит fty), такая, что g(4)=2 и при любом m\geqslant 0 площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, осями координат и прямой x=m, равна  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби mg(m). Докажите, что g(x)= корень из x .

5.

5. Последовательность \x_n\ задана рекуррентно: x_1=a, x_n плюс 1=x_n в степени 2 минус x_n минус 3 при всех n принадлежит \Bbb N.

а) Докажите, что если a — целое, то xn — нечетное число при всех n\geqslant 2.

б) Выясните, при каком значении a последовательность \x_n\ является стационарной.

в) Выясните, при каких значениях a последовательность \x_n\ является геометрической прогрессией.

г) Пусть a=4. Докажите, что последовательность \x_n\ не имеет предела.