Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 447

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1990 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция y=8 в степени x минус 3 умножить на 2 в степени x .

а) Решите уравнение y= минус 2.

б) Найдите наименьшее значение функции y.

в) Решите неравенство y\leqslant 4 в степени (x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) .

г) Сколько на графике функции y пар точек, симметричных друг другу относительно начала координат?

2.

2. Дана функция y= косинус 2x плюс косинус x минус 4 косинус в степени 2 \dfrac x2.

а) Выразите y как функцию от  косинус x.

б) Решите уравнение y= минус 3.

в) Докажите, что при всех значениях x выполняется неравенство y\leqslant 0.

г) Сколько корней в зависимости от a имеет уравнение y=a на отрезке [0; Пи ]?

3.

3. Множество C точек комплексной плоскости задано уравнением |iz плюс 2 плюс 2i|=1.

а) Нарисуйте множество C.

б) Найдите такие точки z принадлежит C, расстояние от которых до мнимой оси равно 13/5.

в) Найдите множество значений |z| при z принадлежит C.

г) Найдите множество значений \arg z в [0;2 Пи ) при z принадлежит C.

4.

4. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна единице. Обозначим: k_1, k_2 — отношения длин двух его ребер к третьему; S(k_1, k_2) — площадь поверхности этого параллелепипеда.

а) Вычислите S(k_1, k_2).

б) Докажите, что S(k_1, k_2)\leqslant 2 при k_1=k_2.

в) Пусть k_1=2. Найдите наибольшее значение S.

г) Пусть k_1=ak_2, a — действительный параметр. При каком значении k_2 площадь S наибольшая?

5.

5. Дана функция y=x в степени 2 и точка B(3, 5).

а) Найдите координаты точек касания с графиком данной функции тех касательных, которые проходят через точку B.

б) Пусть A — точка касания, у которой меньшая абсцисса, а C — точка на графике с абсциссой x=3. Найдите площадь S треугольника ABC.

в) Обозначим через s площадь криволинейного треугольника, ограниченного отрезками BC, AB и дугой AC графика данной функции. Покажите, что s= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби S.

г) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для произвольной точки B подграфика данной функции.