PDF-версии: 1. Дана функция 
а) Вычислите 
если 
и 
б) Докажите тождество 
в) Решите уравнение 
г) Решите неравенство 
на отрезке 
Решение. а) Преобразуем исходное выражение:
Поскольку 
и 
то
Значит, 
б) Докажем тождество
что верно по формуле преобразования суммы в произведение.
в) Запишем уравнение в виде 
и преобразуем его:
г) В силу пункта б неравенство можно записать в виде 
при условии 
Уравнение 
имеет решения 
из которых на указанном промежутке лежат 
и 
Эти значения не должны попасть в ответ. Решим неравенство
Тогда окончательно 
Ответ: а) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) г) в) г) 
и 
были положительны. Первое условие дает 
откуда 
Второе дает 
то есть 
Объединяя эти условия 
тогда 
и первое получаем 
откуда 
Значит, 
Из второго уравнения получаем тогда
б) 
в) 
является корнем уравнения 
при 
и 
при 
имеет два различных корня.
откуда 
т. е. 
в квадрат, получим 
Следовательно, имеем один корень: 
Сравним квадраты данных чисел
Ясно что при 
уравнение не имеет корней, а при 
можно возвести уравнение в квадрат. Получим
будет единственный корень, а при 
будет два корня.
б) 
г) 
график которой проходит через начало координат.
и касательную к нему в его точке с абсциссой 
При этом при 
получается значение C. Чтобы график проходил через начало координат, нужно взять 
Итак, 
отрицательна при 
и положительна 
![x принадлежит ( минус принадлежит fty; минус 3]](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/bb/bbcee033f8417110f5d0df271dc6e9dc.svg)
и убывает при ![x принадлежит [ минус 3; 0]](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/be/be38fe64dc90f91d1b24f501c3f93d44.svg)
и при 
Последние два промежутка можно объединить 
Кроме того, 
уравнение касательной будет 
то есть 
поэтому искомая площадь равна
б) функция 
в) см. рис.; 