Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 428

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 2001 год, вариант 2

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция  f(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: \log конец дроби _{3x} минус дробь: числитель: 1, знаменатель: \log конец дроби _{3 левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 81 конец дроби правая круглая скобка }.

а) Решите уравнение  f(x)= левая круглая скобка {{\log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 81 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка } в степени ( минус 1) }.

б) Решите неравенство  f(x) больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

в) Найдите наименьшее значение функции  f(x) на промежутке  (1;81).

г) Найдите все значения параметра b такие, что уравнение  f(x)=({{\log _bx)} в степени ( минус 1) } имеет решения.

2.

2. Даны функции  f(x)= корень из 3 косинус x плюс синус x и  g(x)= косинус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс 1.

а) Решите неравенство  f(x)\leqslant 0 на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

б) Решите уравнение  f(x)=g(x).

в) Исследуйте функцию  h(x)=f(x) плюс g(x) на монотонность на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

г) Пусть K, M и N — точки графика функции  h(x) с абсциссами  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби соответственно. Докажите, что дуги AM и MN графика функции  h(x) равны между собой.

3.

3А. Рассматривается множество K всех комплексных чисел z таких, что  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби \leqslant \arg z\leqslant дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби . Число  дробь: числитель: \barz, знаменатель: z конец дроби обозначается  v(z).

а) Изобразите на комплексной плоскости множество K.

б) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел z таких, что  v(z)= минус i.

в) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел  v(z), где  z принадлежит K.

г) Среди всех  z принадлежит K таких, что  |z|=3, найдите такие, при которых число  |v(z) плюс 3i| будет наименьшим.

4.

3Б. Дана функция  f(x)=\left| дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в степени (3) плюс x в степени (2) | минус 3x.

а) Выясните, является ли прямая, задаваемая уравнением  y= минус 3x, касательной к графику функции  f(x).

б) Исследуйте функцию  f(x) на монотонность.

в) Постройте множество точек  (x;y), удовлетворяющих условиям  минус 4\leqslant x\leqslant 0 и  минус 3x\leqslant y\leqslant f(x).

г) Наудачу выбирают пару чисел  (x;y) таких, что  минус 4\leqslant x\leqslant 0,  0\leqslant y\leqslant f(x). Определите вероятность того, что  y\geqslant минус 3x.

5.

3В. Даны функции  f(x)= корень из {x в степени (2) минус (3b минус 1)x минус 3b} и  g(x)= корень из {x в степени (2) плюс 4x минус 4b минус b в степени (2) }.

а) Пусть  b= минус 1. Решите уравнение  f(x)= минус 2x минус 2.

б) Пусть  b= минус 3. Решите неравенство  g(x)\leqslant минус 2x минус 2.

в) Наудачу выбирают целое b такое, что  |b| меньше 8. Определите вероятность того, что функция  f(x) определена при всех целых x.

г) Найдите все значения b такие, что уравнения  f(x)= минус 2x минус 2 и  g(x)= минус 2x минус 2 равносильны.