Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 427

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 2001 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция  f(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: \log конец дроби _{2x} минус дробь: числитель: 1, знаменатель: \log конец дроби _{2(4x)}.

а) Решите уравнение  f(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: \log конец дроби _{16x}.

б) Решите неравенство  f(x) меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .

в) Найдите наибольшее значение функции  f(x) на промежутке  (0,25;1).

г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение  f(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: \log конец дроби _{ax} имеет решения.

2.

2. Даны функции  f(x)= корень из 3 синус x плюс косинус x и  g(x)= косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 1.

а) Решите неравенство  f(x)\geqslant 0 на промежутке  [0;2 Пи ].

б) Решите уравнение  f(x)=g(x).

в) Исследуйте функцию  h(x)=f(x) минус g(x) на монотонность на промежутке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .

г) Пусть A, B и C — точки графика функции  h(x) с абсциссами 0,  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,  дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби соответственно. Докажите, что дуги AB и BC графика функции  h(x) равны между собой.

3.

3А. Рассматривается множество M всех комплексных чисел z таких, что  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби \leqslant \arg z\leqslant дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . Число  дробь: числитель: z, знаменатель: \barz конец дроби обозначается  u(z).

а) Изобразите на комплексной плоскости множество M.

б) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел z таких, что  u(z)=i.

в) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел  u(z), где  z принадлежит M.

г) Среди всех  z принадлежит M таких, что  |z|=2, найдите такие, при которых число  |u(z) минус 2i| будет наименьшим.

4.

3Б. Дана функция  f(x)= минус |x в степени (3) минус 3x в степени (2) | минус 9x.

а) Выясните, является ли прямая, задаваемая уравнением  y= минус 9x, касательной к графику функции  f(x).

б) Исследуйте функцию  f(x) на монотонность.

в) Постройте множество точек  (x;y), удовлетворяющих условиям  0\leqslant x\leqslant 4 и  f(x)\leqslant y\leqslant минус 9x.

г) Наудачу выбирают пару чисел  (x;y) таких, что  0\leqslant x\leqslant 4,  f(x)\leqslant y\leqslant 0. Определите вероятность того, что  y\leqslant минус 9x.

5.

3В. Даны функции  f(x)= корень из {x в степени (2) минус (2a плюс 1)x плюс 2a} и  g(x)= корень из {x в степени (2) минус 3x плюс 3a минус a в степени (2) }.

а) Пусть  a=1. Решите уравнение  f(x)=2x минус 2.

б) Пусть  a=2. Решите неравенство  g(x)\leqslant 2x минус 2.

в) Наудачу выбирают целое a такое, что  |a| меньше 10. Определите вероятность того, что функция  f(x) определена при всех целых x.

г) Найдите все значения a такие, что уравнения f(x)=2x минус 2 и g(x)=2x минус 2 равносильны.