Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)

Вариант № 427

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 2001 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.

1. Дана функция $f(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: \log конец дроби _{2x} минус дробь: числитель: 1, знаменатель: \log конец дроби _{2(4x)}.$

а) Решите уравнение $f(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: \log конец дроби _{16x}.$

б) Решите неравенство $f(x) меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$

в) Найдите наибольшее значение функции $f(x)$ на промежутке $(0,25;1).$

г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение $f(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: \log конец дроби _{ax}$ имеет решения.

Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)
выставляется одна из следующих оценок:
+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)
При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий Баллы

Верное и полное выполнение задания 3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет 2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка 1
Остальные случаи 0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

2. Даны функции $f(x)= корень из 3 синус x плюс косинус x$ и $g(x)= косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 1.$

а) Решите неравенство $f(x)\geqslant 0$ на промежутке $[0;2 Пи ].$

б) Решите уравнение $f(x)=g(x).$

в) Исследуйте функцию $h(x)=f(x) минус g(x)$ на монотонность на промежутке $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$

г) Пусть A, B и C — точки графика функции $h(x)$ с абсциссами 0, $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ соответственно. Докажите, что дуги AB и BC графика функции $h(x)$ равны между собой.

Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

3А. Рассматривается множество M всех комплексных чисел z таких, что $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби \leqslant \arg z\leqslant дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$ Число $дробь: числитель: z, знаменатель: \barz конец дроби$ обозначается $u(z).$

а) Изобразите на комплексной плоскости множество M.

б) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел z таких, что $u(z)=i.$

в) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел $u(z),$ где $z принадлежит M.$

г) Среди всех $z принадлежит M$ таких, что $|z|=2,$ найдите такие, при которых число $|u(z) минус 2i|$ будет наименьшим.

Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

3Б. Дана функция $f(x)= минус |x в степени (3) минус 3x в степени (2) | минус 9x.$

а) Выясните, является ли прямая, задаваемая уравнением $y= минус 9x,$ касательной к графику функции $f(x).$

б) Исследуйте функцию $f(x)$ на монотонность.

в) Постройте множество точек $(x;y),$ удовлетворяющих условиям $0\leqslant x\leqslant 4$ и $f(x)\leqslant y\leqslant минус 9x.$

г) Наудачу выбирают пару чисел $(x;y)$ таких, что $0\leqslant x\leqslant 4,$ $f(x)\leqslant y\leqslant 0.$ Определите вероятность того, что $y\leqslant минус 9x.$

Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

3В. Даны функции $f(x)= корень из {x в степени (2) минус (2a плюс 1)x плюс 2a}$ и $g(x)= корень из {x в степени (2) минус 3x плюс 3a минус a в степени (2) }.$

а) Пусть $a=1.$ Решите уравнение $f(x)=2x минус 2.$

б) Пусть $a=2.$ Решите неравенство $g(x)\leqslant 2x минус 2.$

в) Наудачу выбирают целое a такое, что $|a| меньше 10.$ Определите вероятность того, что функция $f(x)$ определена при всех целых x.

г) Найдите все значения a такие, что уравнения $f(x)=2x минус 2$ и $g(x)=2x минус 2$ равносильны.

Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1877	1. а) $\left\ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби \;$ б) $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ;1 правая круглая скобка ;$ в) $минус 2;$ г) $(0;1)\cup (1;2)\cup (2; плюс принадлежит fty ).$
2	1878	2. а) $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка ;$ б) $\left\ минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z \;$ в) на $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка$ функция убывает; на $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка$  — возрастает; г.) прямая $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби$  — ось симметрии $h(x).$
3	1879	б) прямая $y=x,$ $x не равно 0;$ в) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби \leqslant \arg u\leqslant дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $\|u\|=1;$ г) $корень из 2 плюс i корень из 2.$
4	1880	функция возрастает при $x\leqslant минус 1$ и убывает на промежутке $[ минус 1; плюс принадлежит fty).$ в) Нужно построить графики $y= минус 9x$ и $y=f(x)$ при $x принадлежит [0;4]$ и взять все точки, которые окажутся между ними. Мы уже знаем, что $f(x)$ убывает на всем промежутке $[0;4],$ пересекает линию $y= минус 9x$ при $x=0$ и $x=3$ и ее график представляет собой части графиков двух кубических многочленов. Для построения графиков осталось только исследовать их выпуклость $(x в степени 3 минус 3x в степени 2 минус 9x)''=(3x в степени 2 минус 6x минус 9)'=6x минус 6=6(x минус 1)$ что положительно при $x принадлежит (1;3)$ и отрицательно при $x принадлежит [0;1),$ $( минус x в степени 3 плюс 3x в степени 2 минус 9x)''=( минус 3x в степени 2 плюс 6x минус 9)'= минус 6x плюс 6= минус 6(x минус 1),$ что отрицательно при $x принадлежит [3;4].$ Значит функция выпукла вниз при $x принадлежит (1;3)$ и выпукла вверх при $x принадлежит [0;1)$ и при $x принадлежит [3;4].$ Примерный график изображен на рисунке. г) Исходя из геометрического определения вероятности, нужно найти отношение площади заштрихованной фигуры. На прошлом рисунке к площади, лежащей над графиком функции $y=f(x),$ то есть к той же площади, к которой добавлена площадь прямоугольного треугольника с вершинами $(0;0), (4;0), (4, минус 36)$  — она составляет $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 умножить на 36=72.$ Теперь вычислим площадь заштрихованной фигуры: $S= принадлежит t_0 в степени 4 ( минус 9x минус f(x))dx= принадлежит t_0 в степени 4 ( минус 9x минус ( минус \absx в степени 3 минус 3x в степени 2 минус 9x))dx= принадлежит t_0 в степени 4 \absx в степени 3 минус 3x в степени 2 dx=$ $= принадлежит t_0 в степени 4 \absx в степени 2 (x минус 3)dx= принадлежит t_0 в степени 3 ( минус x в степени 2 (x минус 3))dx плюс принадлежит t_3 в степени 4 x в степени 2 (x минус 3)dx= принадлежит t_0 в степени 3 (3x в степени 2 минус x в степени 3 )dx плюс принадлежит t_3 в степени 4 (x в степени 3 минус 3x в степени 2 )dx=$ $= \dvpodx в степени 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в степени 4 03 плюс \dvpod дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в степени 4 минус x в степени 3 34=3 в степени 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 3 в степени 4 минус 0 плюс 0 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 4 в степени 4 минус 4 в степени 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 3 в степени 4 плюс 3 в степени 3 =$ $= 27 минус дробь: числитель: 81, знаменатель: 4 конец дроби плюс 64 минус 64 минус дробь: числитель: 81, знаменатель: 4 конец дроби плюс 27=2(27 минус 20 дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби )=2 умножить на 6 дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =13 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Поэтому искомая вероятность равна $дробь: числитель: 13 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 13 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 72 конец дроби = дробь: числитель: 27, знаменатель: 27 плюс 144 конец дроби = дробь: числитель: 27, знаменатель: 171 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 19 конец дроби .$ Ответ: а) да, в точке $(0;0);$ б) на $[ минус 1; плюс принадлежит fty )$ функция убывает; на $( минус принадлежит fty ; минус 1]$  — возрастает; г) $дробь: числитель: 3, знаменатель: 19 конец дроби .$
5	1881	$a=1$ или $a=2.$ а) $\1\;$ б) $[2; плюс принадлежит fty )\cup \1\;$ в) $дробь: числитель: 2, знаменатель: 19 конец дроби ;$ г) $a=1,$ $a=2.$