Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 425

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 2000 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция  f(x)=3 в степени ({x) в степени (2) минус 2x}.

а) Решите уравнение  f(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

б) Решите неравенство  f(x) меньше 1.

в) Сравните числа  f(\log _0,53) и  f(\log _0,255).

г) Укажите ординаты всех таких точек графика функции  f(x), что для каждой из них расстояние от нее до другой точки графика функции  f(x) с той же ординатой не меньше 2 и не больше 4.

2.

2. Дана функция  f(x)= синус в степени (2) левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус синус в степени (2) левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на косинус 2x.

а) Решите уравнение  f(x)=0.

б) Вычислите  f левая круглая скобка \arcsin дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

в) Решите неравенство  f(x) больше дробь: числитель: 1 минус синус x, знаменатель: 4 конец дроби на отрезке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .

г) Найдите множество значений функции  f(x) на отрезке  [0; Пи ].

3.

3А. Дано выражение  f(z)=z в степени (2) минус az минус a плюс 4 и множество M комплексных чисел, удовлетворяющих условию  iz плюс \barz=0. Точка K комплексной плоскости, соответствующая комплексному числу z, обозначается  K(z).

а) Изобразите на чертеже множество M.

б) Пусть  a=2. Найдите все корни уравнения  f(z)=0, принадлежащие множеству M.

в) Изобразите на чертеже множество комплексных чисел  u=iz, где  z принадлежит M.

г) Пусть  B(z_0),  O(0),  A( минус 2i),  C( минус 2). Найдите все вещественные числа a, при которых уравнение  f(z)=0 имеет такой корень  z_0, что в четырехугольник OABC можно вписать окружность.

4.

3Б. Дана функция  f(x)= корень из 4x плюс 1 минус 2x плюс 1.

а) Решите неравенство  f(x)\geqslant 0.

б) Найдите наибольшее значение функции  f(x).

в) Постройте множество точек  (x;y), удовлетворяющих условию  |y минус 1|\leqslant f(x).

г) Наудачу выбирают пару чисел  (x;y) таких, что  |y минус 1|\leqslant f(x). Определите вероятность того, что  x\geqslant 0.

5.

3В. Дан многочлен  P(x)=x в степени (3) минус 3(a плюс 2)x в степени (2) плюс (2a в степени (2) плюс 8a плюс 5)x минус 2a в степени (2) минус 5a,  a принадлежит R .

а) Найдите все значения параметра a такие, что многочлен  P(x) делится без остатка на многочлен  Q(x)=x в степени (2) минус 1.

б) Найдите все значения параметра a такие, что многочлен  P(x) имеет три вещественных корня (не обязательно различных), сумма которых равна 9.

в) Найдите все значения параметра a такие, что многочлен  P(x) имеет три вещественных корня, образующих арифметическую прогрессию.

г) Случайным образом выбирают число a из множества целых чисел, принадлежащих отрезку  [ минус 6;2]. Определите вероятность того, что при этом значении a число  x=1 является корнем многочлена  P(x) кратности два.