Решение. а) Решим неравенство:

Ясно, что при

оно не определено, а при

оно выполнено, поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. При

можно возвести неравенство в квадрат.

Поскольку

можно сократить на

и получить неравенство

откуда

Окончательно

б) Обозначим временно
тогда
Получаем

причем значение 2 достигается при

то есть при

Ответ: 2.
в) Неравенство можно переписать в виде

Значит, во-первых

откуда

(см. пункт а), а во-вторых, нужно построить графики функций

и

и отметить все точки, лежащие между ними при условии

Ясно, что графики

и

отличаются симметрией относительно горизонтальной оси, как и графики

и

поэтому достаточно построить

а для построения

просто перевернуть его и сдвинуть вверх на 2, поскольку

Строим график
то есть
при
Возьмем производную данной функции
Знаменатель всегда положителен при

а числитель положителен если

то есть

Значит, эта функция возрастает при

и убывает при

(а точка

является точкой минимума). При этом
Возьмем вторую производную

поэтому функция на всем промежутке выпукла вниз.
Найдем корни функции, решив уравнение:


Ясно, что

поэтому будет посторонним корнем. Так что единственным подходящим будет
Осталось построить график и выполнить с ним указанные преобразования, чтобы построить второй график.
г) Разобъем построенную в пункте в фигуру вертикальным отрезком прямой
на две части. По геометрическому определению вероятности нам нужно будет найти отношение площади правой части к площади всей фигуры. Вычислим отдельно площади правой и левой части.
Правая часть имеет площадь




Аналогично левая часть имеет площадь



Значит, искомая вероятность равна 
Ответ:а)
б) 2; в) см. рис.; г) 
Критерии проверки: За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 2.
в) Неравенство можно переписать в виде

Значит, во-первых

откуда

(см. пункт а), а во-вторых, нужно построить графики функций

и

и отметить все точки, лежащие между ними при условии

Ясно, что графики

и

отличаются симметрией относительно горизонтальной оси, как и графики

и

поэтому достаточно построить

а для построения

просто перевернуть его и сдвинуть вверх на 2, поскольку

Строим график
то есть
при
Возьмем производную данной функции
Знаменатель всегда положителен при

а числитель положителен если

то есть

Значит, эта функция возрастает при

и убывает при

(а точка

является точкой минимума). При этом
Возьмем вторую производную

поэтому функция на всем промежутке выпукла вниз.
Найдем корни функции, решив уравнение:


Ясно, что

поэтому будет посторонним корнем. Так что единственным подходящим будет
Осталось построить график и выполнить с ним указанные преобразования, чтобы построить второй график.
г) Разобъем построенную в пункте в фигуру вертикальным отрезком прямой
на две части. По геометрическому определению вероятности нам нужно будет найти отношение площади правой части к площади всей фигуры. Вычислим отдельно площади правой и левой части.
Правая часть имеет площадь




Аналогично левая часть имеет площадь



Значит, искомая вероятность равна
а)
б) 2; в) см. рис.; г) 
1870
2.
в) Неравенство можно переписать в виде

Значит, во-первых

откуда

(см. пункт а), а во-вторых, нужно построить графики функций

и

и отметить все точки, лежащие между ними при условии

Ясно, что графики

и

отличаются симметрией относительно горизонтальной оси, как и графики

и

поэтому достаточно построить

а для построения

просто перевернуть его и сдвинуть вверх на 2, поскольку

Строим график
то есть
при
Возьмем производную данной функции
Знаменатель всегда положителен при

а числитель положителен если

то есть

Значит, эта функция возрастает при

и убывает при

(а точка

является точкой минимума). При этом
Возьмем вторую производную

поэтому функция на всем промежутке выпукла вниз.
Найдем корни функции, решив уравнение:


Ясно, что

поэтому будет посторонним корнем. Так что единственным подходящим будет
Осталось построить график и выполнить с ним указанные преобразования, чтобы построить второй график.
г) Разобъем построенную в пункте в фигуру вертикальным отрезком прямой
на две части. По геометрическому определению вероятности нам нужно будет найти отношение площади правой части к площади всей фигуры. Вычислим отдельно площади правой и левой части.
Правая часть имеет площадь




Аналогично левая часть имеет площадь



Значит, искомая вероятность равна
а)
б) 2; в) см. рис.; г) 
Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 2000 год, вариант 1
Сложность: 9 из 10