Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 424

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1999 год, вариант 2

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция  f(x)=\log _4(6x минус x в степени (2) плюс b).

а) Найдите все такие числа b, что  f(3)=2.

б) Пусть  b=7. Решите неравенство  f(x)\geqslant минус \log _0,25(8x минус 8).

в) Пусть  b=7. Найдите промежутки монотонности функции  f(x).

г) Найдите все такие b, что множество значений, принимаемых функцией  f(x) при  x\leqslant 3 из области ее определения, содержит луч  ( минус принадлежит fty ;2].

2.

2. Дана функция  f(x)= косинус x.

а) Решите уравнение  f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2x правая круглая скобка =(f(x)) в степени (2) .

б) Решите неравенство  f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2x правая круглая скобка больше (f(x)) в степени (2) на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .

в) Найдите все пары чисел x и y, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка , такие, что одновременно выполняются равенства

 дробь: числитель: f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2x правая круглая скобка , знаменатель: конец дроби f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2y правая круглая скобка = дробь: числитель: f(x), знаменатель: f(y) конец дроби

и  f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2x правая круглая скобка =(f(y)) в степени (2) .

г) Найдите координаты всех точек графика функции  y=f(2x), имеющих абсциссу из отрезка  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка и таких, что на расстоянии  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби от них имеется точка графика функции  y=f(x) с такой же ординатой.

3.

3А. Рассматривается комплексные числа z и  u=|z| в степени (2) плюс z.

а) Найдите все числа z такие, что  u=0.

б) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел z таких, что  \text Re u=\text Im u.

в) Пусть  |z|=1. Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел u.

г) Пусть случайным образом выбирается число z такое, что  |z|=1. Найдите вероятность того, что при этом  |u| \geqslant 1.

4.

3Б. Дана функция  f(x)=4,5x в степени ( минус 2) плюс 12x в степени ( минус 1) плюс 6.

а) Напишите уравнение касательной к графику функции  f(x) в его точке с абсциссой  x_0= минус 1.

б) Решите неравенство  f(x)\leqslant минус 3x минус 4,5.

в) Постройте множество точек с координатами  (x;y), удовлетворяющими условиям  система выражений  новая строка минус 3x минус 4,5\leqslant y\leqslant f(x),  новая строка минус 1\leqslant x\leqslant минус 0,5. конец системы .

г) Сравните  принадлежит t\limits_ минус 1,5 в степени ( минус 1) f(x)dx и  минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби .

5.

3В. Даны функции  f(x)= корень из x плюс 1 минус a и  g(x)= корень из {x в степени (2) плюс 2ax минус 2a минус 1}.

а) Пусть  a=2. Решите неравенство  f(x) меньше 3 минус x.

б) Найдите все значения a, при которых функция  g(x) определена на всей вещественной оси.

в) Найдите все значения a, при которых условие  g(x)=0 следует из условия  f(x)=0.

г) Найдите все значения a, при которых уравнение  f(x) умножить на g(x)=0 имеет единственное решение.