Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 423

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1999 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция  f(x)=\log _3(4x минус x в степени (2) плюс a).

а) Найдите все такие числа a, что  f(2)=2.

б) Пусть  a=5. Решите неравенство  f(x)\leqslant \log _ корень из { 3} корень из 6x плюс 2.

в) Пусть  a=5. Найдите промежутки монотонности функции  f(x).

г) Найдите все такие a, что множество значений, принимаемых функцией  f(x) при  x\geqslant 2 из области ее определения, содержит луч  ( минус принадлежит fty ;2].

2.

2. Дана функция  f(x)= синус x.

а) Решите уравнение  f(2x)=(f(x)) в степени (2) .

б) Решите неравенство  f(2x)\geqslant (f(x)) в степени (2) на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .

в) Найдите все пары чисел x и y, принадлежащие отрезку  [0; Пи ], такие, что выполняются условия  система выражений  новая строка дробь: числитель: f(2x), знаменатель: f(2y) конец дроби = дробь: числитель: f(x), знаменатель: f(y) конец дроби ,  новая строка f(2x)=(f(y)) в степени (2) . конец системы .

г) Найдите координаты всех точек графика функции  y=f(2x), имеющих абсциссу из отрезка  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка и таких, что на расстоянии  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби от них имеется точка графика функции  y=f(x) с такой же ординатой.

3.

3А. Рассматривается комплексные числа z и  u=z минус |z| в степени (2) .

а) Найдите все числа z такие, что  u=0.

б) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел z таких, что  \text Re u=\text Im u.

в) Пусть  |z|=1. Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел u.

г) Пусть случайным образом выбирается число z такое, что  |z|=1. Найдите вероятность того, что при этом  |u|\leqslant 1.

4.

3Б. Дана функция  f(x)=12 минус 48x в степени ( минус 1) плюс 36x в степени ( минус 2) .

а) Напишите уравнение касательной к графику функции  f(x) в его точке с абсциссой  x_0=2.

б) Решите неравенство  f(x) больше 3x минус 9.

в) Постройте множество точек с координатами  (x;y), удовлетворяющими условиям  система выражений  новая строка 3x минус 9\leqslant y\leqslant f(x),  новая строка 1\leqslant x\leqslant 2. конец системы .

г) Сравните  принадлежит t\limits_2 в степени (3) f(x)dx и  минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

5.

3В. Даны функции  f(x)= корень из x плюс b и  g(x)= корень из {x в степени (2) минус 2(b плюс 1)x плюс 4b}.

а) Пусть  b= минус 2. Решите неравенство  f(x) больше 4 минус x.

б) Найдите все значения параметра b, при которых функция  g(x) определена на всей вещественной оси.

в) Найдите все значения b, при которых условие  g(x)=0 следует из условия  f(x)=0.

г) Найдите все значения b, при которых уравнение  f(x) умножить на g в степени ( минус 1) (x)=0 не имеет решений.