Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 422

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1997 год, вариант 2

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция  f(x)=3 в степени (x минус 1) плюс 3 в степени (1 минус x) .

а) Решите уравнение  f(x)= дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби .

б) Решите неравенство  f(x) меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби .

в) Найдите множество значений функции  f(x).

г) Найдите все такие числа b, что числа  f(b плюс 2) и  f(b минус 2) равноудалены от числа  f(b).

2.

2. Дана функция  f(x)= синус (x плюс 3a) синус (x минус a).

а) Найдите все значения параметра a такие, что число  x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби является корнем уравнения  f(x)=0.

б) Пусть  a= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . Постройте график функции  f(x) на отрезке  [0; Пи ].

в) Пусть  a= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . Изобразите на координатной плоскости множество всех точек с координатами  (x;y) такими, что  0\leqslant x\leqslant Пи ,  0\leqslant y\leqslant Пи и (f(x) плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби )(f(y) плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) меньше 0.

г) Найдите все значения параметра a из отрезка  [0; Пи ] такие, что уравнение  f(x)=b имеет хотя бы одно решение при всяком b из отрезка  [ минус 1;0].

3.

3А. Рассматривается множество A комплексных чисел z, задаваемое неравенством  |z минус 2i|\leqslant 1.

а) Изобразите на чертеже множество A.

б) Найдите все корни уравнения  z в степени (2) плюс корень из 3z плюс 3=0, принадлежащие множеству A.

в) Изобразите на чертеже множество B всех чисел u таких, что  (1 плюс i корень из 3)z, где  z принадлежит A.

г) Найдите все пары чисел  z принадлежит A,  v принадлежит B таких, что  \left| дробь: числитель: \text Im v, знаменатель: \text Re конец дроби v |=\left| дробь: числитель: \text Im z, знаменатель: \text Re конец дроби z |.

4.

3Б. Дана функция  f(x)=x в степени ( минус 2) минус 2x.

а) Найдите наименьшее значение функции  f(x) на отрезке  [ минус 2; минус 0,75].

б) Найдите уравнение касательных к графику функции  f(x), проходящих через точку с координатами  (0;3).

в) Найдите площадь фигуры, лежащей во второй четверти и ограниченной графиком функции  f(x) и прямыми  y=3,  y= минус 4x плюс 3.

г) Наудачу выбирается число k из отрезка  [ минус 5; минус 1]. Определите вероятность того, что уравнение  f(x)=kx плюс 3 имеет корень из отрезка  [ минус 0,75; минус 0,5].

5.

3В. Дана функция  f(x)= корень из дробь: числитель: x минус 5, знаменатель: x минус 2 конец дроби .

а) Решите неравенство  f(x) меньше 0,5.

б) Решите уравнение  f(x)=x плюс 1.

в) Найдите промежутки монотонности функции  f(x).

г) Найдите все значения параметра a такие, что выполнение условия  |x| больше 6 достаточно для выполнения неравенства  f(x) больше a.