Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 421

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1997 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция  f(x)=2 в степени (x) плюс 2 в степени (2 минус x) .

а) Решите уравнение  f(x)=5.

б) Решите неравенство  f(x) больше 5.

в) Исследуйте функцию  f(x) на монотонность.

г) Найдите все такие числа a, что числа  f(a плюс 1) и  f(a минус 1) равноудалены от числа  f(a).

2.

2. Дана функция  f(x)= синус (x минус 2a) косинус (x минус a).

а) Найдите все значения параметра a такие, что число  x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби является корнем уравнения  f(x)=0.

б) Пусть  a= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби . Постройте график функции  f(x) на отрезке  [0; Пи ].

в) Пусть  a= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби . Изобразите на координатной плоскости множество всех точек с координатами  (x;y) такими, что  0\leqslant x\leqslant Пи ,  0\leqslant y\leqslant Пи и  f(x) умножить на f(y)\geqslant 0.

г) Найдите все значения параметра a из отрезка  [0; Пи ] такие, что уравнение  f(x)=b имеет хотя бы одно решение при всяком b из отрезка  [ минус 0,75;0,25].

3.

3А. Рассматривается множество D комплексных чисел, задаваемое неравенством  |z минус корень из 3 минус i|\leqslant 1.

а) Изобразите на чертеже множество D.

б) Найдите все корни уравнения  z в степени (2) минус корень из 3z плюс 3=0, принадлежащие множеству D.

в) Изобразите на чертеже множество M всех чисел u таких, что  u=(1 плюс i корень из 3)z, где  z принадлежит D.

г) Найдите все пары чисел  z принадлежит D,  v принадлежит M таких, что  \left| дробь: числитель: \text Im v, знаменатель: \text Re конец дроби v |=\left| дробь: числитель: \text Im z, знаменатель: \text Re конец дроби z |.

4.

3Б. Дана функция  f(x)=x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби в степени (2) .

а) Найдите наименьшее значение функции  f(x) на отрезке  [0,25;2].

б) Найдите уравнение касательных к графику функции  f(x), проходящих через точку с координатами  (0;1;5).

в) Найдите площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной графиком функции  f(x) и прямыми  y=1,5,  y=2x плюс 1,5.

г) Наудачу выбирается число k из отрезка  [0;5]. Определите вероятность того, что уравнение  f(x)=kx плюс 1,5 имеет корень из отрезка  [0,25;0,5].

5.

3В. Дана функция  f(x)= корень из дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби .

а) Решите неравенство  f(x) меньше 2.

б) Решите уравнение  f(x)=4 минус x.

в) Найдите множество значений функции  f(x).

г) Найдите все значения параметра a такие, что выполнение неравенства  f(x) меньше a необходимо для выполнения неравенства  |x| больше 2.