Готово, можно копировать.
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 420

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 2

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция  f(x)= дробь: числитель: косинус 2x, знаменатель: косинус x конец дроби .

а) Решите уравнение  f(x)= минус 1.

б) Решите неравенство  f(x) больше или равно 0 на отрезке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .

в) Сравните числа  f левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка и  минус 1.

г) Найдите множество значений функции  f(x).

2.

2. Дана функция  f(x)=\log _3 дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби умножить на \log _3x.

а) Решите неравенства  f(x) больше 6.

б) Решите уравнение  |f(x)|=f левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

в) Найдите промежутки монотонности функции  f(x).

г) Выясните, сколько корней имеет уравнение  f(x)=f(x умножить на a в степени ( минус 1) ) в зависимости от a (при  a больше 0).

3.

3А. Рассматриваются комплексные числа z и  u=z минус дробь: числитель: 3, знаменатель: z конец дроби .

а) Запишите в алгебраической форме все числа z такие, что  u= минус 4i.

б) Изобразите на чертеже совокупность всех чисел z таких, что  \arg z= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби и  |u| меньше или равно 4.

в) Пусть  |z| больше или равно 1. Найдите наибольшее значение расстояния между точками комплексной плоскости, соответствующими z и u.

г) Пусть  |z|=1. Найдите наибольшее значение площади треугольника с вершинами в точках, соответствующих  минус дробь: числитель: 3, знаменатель: z конец дроби и u, и начале координат O.

4.

3Б. Дана функция  f(x)= дробь: числитель: x в квадрате плюс 2x плюс 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби .

а) Напишите уравнения касательных к графику функции  f(x), параллельных оси абсцисс.

б) Постройте график функции  f(x) на отрезке  [ минус 3;3].

в) Докажите, что  принадлежит t\limits_ минус 0,5 в степени (1) f(x)dx меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби .

г) Найдите наименьшее значение площади фигуры, ограниченной графиком функции  f(x) и прямыми  y=0,  x=a,  x=a плюс 1,5, для  a больше минус 1.

5.

3В. Дана функция  f(x)= корень из (1 минус 2x) .

а) Решите уравнение  (3 минус f(x))(f(x) плюс 0,75x)=0.

б) Изобразите на чертеже множество всех точек с координатами  (x;y) такими, что  минус 0,75x меньше или равно y меньше или равно f(x).

в) Наудачу выбирается целое число a из отрезка  [ минус 12;12]. Определите вероятность того, что уравнение  f(x)=a имеет целое решение.

г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение  f(x)=ax не имеет решений на отрезке  [ минус 4;0].