Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 419

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция  f(x)= дробь: числитель: косинус 2x, знаменатель: синус x конец дроби .

а) Решите уравнение  f(x)=1.

б) Решите неравенство  f(x) \leqslant 0 на отрезке  левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

в) Сравните числа  f левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби правая круглая скобка и 1.

г) Найдите множество значений функции  f(x).

2.

2. Дана функция  f(x)=\log _2x умножить на \log _2(4x).

а) Решите неравенство  f(x) меньше 3.

б) Решите уравнение  f(x)=|f(4x)|.

в) Найдите промежутки монотонности функции  f(x).

г) Выясните, существует ли такое положительное число a, что уравнение  f(x)=f(ax) имеет ровно два решения.

3.

3А. Рассматриваются комплексные числа z и  u=z плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: z конец дроби .

а) Запишите в алгебраической форме все числа z такие, что  u= минус i.

б) Изобразите на чертеже совокупность всех чисел z таких, что  \arg z= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби и  |u|\leqslant 1.

в) Пусть  |z|\leqslant 1. Найдите наименьшее значение расстояния между точками комплексной плоскости, соответствующими z и u.

г) Пусть  |z|=1. Найдите наибольшее значение площади треугольника с вершинами в точках, соответствующих z и u, и начале координат O.

4.

3Б. Дана функция  f(x)= дробь: числитель: x в степени (2) минус x плюс 1, знаменатель: x конец дроби .

а) Напишите уравнения касательных к графику функции  f(x), параллельных оси абсцисс.

б) Постройте график функции  f(x) на отрезке  [ минус 3;3].

в) Докажите, что  принадлежит t\limits_0,5 в степени (2) f(x)dx меньше дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби .

г) Найдите наименьшее значение площади фигуры, ограниченной графиком функции  f(x) и прямыми  y=0,  x=a,  x=a плюс 1,5, для  a больше 0.

5.

3В. Дана функция  f(x)= корень из 4x плюс 1.

а) Решите уравнение  (f(x) минус 1,5x)(f(x) минус 3)=0.

б) Изобразите на чертеже множество всех точек с координатами  (x;y) такими, что  1,5x\leqslant y\leqslant f(x).

в) Наудачу выбирается целое число a из отрезка  [ минус 15;15]. Определите вероятность того, что уравнение  f(x)=a имеет целое решение.

г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение  f(x)=ax имеет решение на отрезке  (0;2).