PDF-версии: 1. Дана функция 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Выясните, какое из чисел ближе к единице — 
или 
г) Найдите множество значений функции 
Решение. Сразу отметим, что функция определена при условии 
то есть 
и тогда
а) Запишем неравенство в виде 
и преобразуем его
б) Решим уравнение:
хотя это и не обязательно). Далее:
в)Имеем:
Надо выяснить, какое из чиcел меньше — 
или 
Сравним их:
то и 
значит, 
ближе к единице.г) При 
выражение 
принимает все значения из промежутка 
поэтому выражение 
принимает все значения из промежутка поэтому выражение 
принимает все значения из промежутка 
поэтому выражение 
принимает все значения из промежутка 
Ответ:
Ответ: а) 
б) 
в) 
ближе; г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) б) в) ближе; г) а) б) в) ближе; г) 
достаточно для выполнения неравенства 
и преобразуем его:
— оно однородное — получим
получаем
то первый множитель положителен, а значит второй отрицателен (ведь 
). Если уменьшать x, то 
останется положительным до точки 
а второй множитель будет отрицательным минимум до той же точки (в четвертой четверти и 
и 
выражение 
не станет нулем. Значит, до этого момента знак не менялся. Значит, в сторону уменьшения x можно отходить не более чем на 
В сторону увеличения на столько отойти можно (и даже сильно больше, на 
но это уже неважно).
(первое условие задает положительность a, которая тоже требуется в задаче).
б) 
в) 3; г) 
Запишите в алгебраической форме все числа b такие, что 
Изобразите на чертеже множество всех чисел 
и 
лежат на одной окружности.
тогда 
то 
Решим уравнение 
либо 
то либо 
либо 
То есть либо 
либо 
откуда 
— это горизонтальная прямая.
откуда 
— это вертикальная ось (см. левый рисунок).
сначала отражает точку z относительно начала координат, а потом сдвигает полученную точку на 
Значит, нужно сначала отразить единичную окружность относительно начала координат (она останется собой), а потом сдвинуть на 
(она превратится в окружность радиуса 1 с центром в точке 
лежат на вертикальной оси. Если они все различны, то они не могут лежать на окружности. Если же нет, то 
или 
то есть 
Только последняя из них лежит на единичной окружности, и для нее получаются точки 
и 
всего две различных точки. Этот случай годится.
и точки z и 
симметричны относительно вертикальной оси. Значит, она является серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку и потому центр любой окружности, проходящей через z и 
лежит на ней.
а 
отсюда видно, что при 
(а если 
и при этом точка лежит на единичной окружности, то 
этот случай уже разобран) отрезок, соединяющий эти точки, вертикален, поэтому серединный перпендикуляр к нему — горизонтальная прямая, проходящая через 
Итак, центром окружности должна быть точка i. Значит, радиус окружности равен 
— равносторонний и имеет углы по 
Это позволяет найти такие точки с точностью до двух вариантов (угол 
с вертикальной осью дает угол 
с горизонтальной)
б) см. рис.; в) см. рис.; г) 
такими, что 
и прямой 
![[ минус 4;5].](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/d4/d479550d55417b55ae00fd7abeddca24.svg)
Выясните, при каких значениях параметра a вероятность того, что выбираемые числа удовлетворяют условию 
равна 
и 
то есть при ![x принадлежит [ минус 4;5].](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/2c/2c70315b444aa3fde6ed471d2b1a2c79.svg)
то есть 
и отрицателен при 
Значит, функция возрастает при 
и убывает при 
при всех ![x принадлежит [ минус 4;5],](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/80/80a160eebc8bf0599fdeb78b6c6171c3.svg)
поскольку 
Поэтому неравенство 
равносильно условию 
или 
Мы уже почти все нужно для построения графика узнали, осталось только вычислить значение в точке максимума 
равносильно тому, что y лежит на отрезке между a и 
но неизвестно, какой из концов меньший. Можно считать, что мы выбираем точку с координатами 
в квадрате ![[ минус 4;5]\times [ минус 4;5].](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/04/044b90a957c5d23ea5acb6d976556418.svg)
Площадь этого квадрата 81, поэтому площадь фигуры, описываемой условием 
площадь получается 9. Если уменьшать a, то к площади будет добавляться прямоугольник с горизонтальной стороной 9. Нам надо добавить 
значит, его вертикальная сторона должна быть 2 и 
Если же увеличивать a, то нам будут подходить некоторые точки области 
(см. рис.). Однако вся эта область — прямоугольник площади 18, поэтому его часть не может дать фигуру площади 27.
функция возрастает; на 
— убывает; б) см. рис.; в) 9; г) 
делится без остатка на многочлен 
параллельна прямой 
имеет ровно три различных вещественных корня.
получаем уравнение 
с корнями 
и 
на 
поэтому нужно, чтобы у исходного многочлена были такие же (или пропорциональные, но здесь все коэффициенты при x равны 1) множители. 
точно есть, значит
если она горизонтальна, то есть ее угловой коэффициент равен нулю. Значит, значение производной в точке 2 должно быть равно 0. Учитывая, что 
является корнем изначального многочлена и корнем производной, 
(и 
), либо 
(и 
поэтому уравнение касательной будет 
то есть 
Значит, касательная — горизонтальная ось и она действительно параллельна прямой 
а не совпадает с ней.
имеет три различных корня (
) и ни один из них не равен 1. Мы уже знаем из пункта б), что одним из корней будет 
при 
б) 
в) 
г) 
