Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 418

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 2

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция  f(x)=\log _3(8 минус x) минус \log _3( минус x).

а) Решите неравенство  f(x) больше 1.

б) Решите уравнение  f(x)=\log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x плюс 5 конец дроби правая круглая скобка .

в) Выясните, какое из чисел ближе к единице —  f( минус 3) или  f( минус 5).

г) Найдите множество значений функции  f(x).

2.

2. Дна функция  f(x)= корень из 3 синус 2x плюс 2 косинус в степени (2) x.

а) Вычислите  f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка .

б) Решите уравнение  3f(x) плюс 4 синус в степени (2) x=0.

в) Найдите наибольшее значение функции  f(x).

г) Найдите все положительные числа a такие, что выполнения неравенства  \left| x плюс дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби | меньше a достаточно для выполнения неравенства  f(x) меньше 0.

3.

3А. Рассматриваются комплексные числа z и  z_1=2i минус z.

а) Пусть  z=10i. Запишите в алгебраической форме все числа b такие, что  b в степени (3) =z_1.

б) Изобразите на чертеже множество всех комплексных чисел z таких, что  (\barz плюс z_1)(\barz плюс z)=0.

в) Пусть  |z|=1. Изобразите на чертеже множество всех чисел  z_1.

г) Пусть  |z|=1. Найдите все числа z такие, что начало координат O и точки, соответствующие числам z,  z_1 и  минус \barz, лежат на одной окружности.

4.

3Б. Дана функция  f(x)= корень из 5 минус x плюс корень из x плюс 4.

а) Найдите промежутки монотонности функции  f(x).

б) Изобразите на чертеже множество всех точек с координатами  (x;y) такими, что  (f(x) минус y)(y минус 3)\leqslant 0.

в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции  f(x) и прямой  y=3.

г) Случайным образом выбираются числа x и y из отрезка  [ минус 4;5]. Выясните, при каких значениях параметра a вероятность того, что выбираемые числа удовлетворяют условию  (f(x) минус y)(y минус a)\geqslant 0, равна  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

5.

3В. Дана функция  f(x)=x в степени (3) минус (a плюс 2)x в степени (2) минус (2a в степени (2) минус 2a)x плюс 4a в степени (2) ,  a принадлежит R .

а) Пусть  a=1. Решите уравнение  f(x)=0.

б) Найдите все значения параметра a такие, что многочлен  y=f(x) делится без остатка на многочлен  P(x)=x в степени (2) минус 3x плюс 2.

в) Найдите все значения параметра a такие, что касательная к графику функции  f(x) в его точке с абсциссой  x_0=2 параллельна прямой  y=5.

г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение  дробь: числитель: f(x), знаменатель: x минус 1 конец дроби =0 имеет ровно три различных вещественных корня.