1. Дана функция 
.
а) Решите неравенство 
.
б) Решите уравнение 
.
в) Выясните, какое из чисел ближе к единице — 
или 
.
г) Найдите множество значений функции 
.
Решение. Сразу отметим, что функция определена при условии 
то есть 
, и тогда
а) Запишем неравенство в виде 
и преобразуем его
б) Упростим правую часть. Для этого извлечем квадратный корень из основания и аргумента логарифма. Затем, снимем модуль, учитывая, что 
Получаем:
На ОДЗ получаем:
в) Имеем:
Надо выяснить, какое из чиcел меньше — 
или 
Сравним их:
Поскольку 
то и 
значит, 
ближе к единице.
г) При выражение 
принимает все значения из промежутка 
поэтому выражение 
принимает все значения из промежутка поэтому выражение 
принимает все значения из промежутка поэтому выражение 
принимает все значения из промежутка 
поэтому выражение 
принимает все значения из промежутка 
Ответ: а) 
б) 
в) ближе; г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) ближе; г) б) в) ближе; г) 
. 
.
достаточно для выполнения неравенства 
.
и преобразуем его:
— оно однородное — получим 
, получаем
то оба множителя положительны. Если увеличивать x, то 
останется положительным до точки 
а второй множитель будет положительным минимум до той же точки (в первой четверти 
убывает, поэтому разность возрастает. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен, поэтому разность положительна).
они не сравняются. После этой точки первый множитель все еще будет положителен, а второй отрицателен и неравенство нарушится. Значит, в сторону уменьшения x можно отходить не более чем на 
В сторону увеличения на столько отойти можно (и даже сильно больше, но это уже неважно).
(первое условие задает положительность a, которая тоже требуется в задаче).
в) 
г) 
. Запишите в алгебраической форме все числа a такие, что 
.
.
. Изобразите на чертеже множество всех чисел 
.
, лежат на одной окружности.
тогда 
то 
Решим уравнение 
либо 
Поэтому 
то либо 
либо 
То есть либо 
либо 
откуда 
— это вертикальная прямая.
откуда 
— это горизонтальная ось (см. левый рисунок).
сначала отражает точку z относительно начала координат, а потом сдвигает полученную точку на 2. Значит, нужно сначала отразить единичную окружность относительно начала координат (она останется собой), а потом сдвинуть на 2 (она превратится в окружность радиуса 1 с центром в точке 2) (см. правый рисунок).
вещественное число, то точки 
лежат на горизонтальной оси. Если они все различны, то они не могут лежать на окружности. Если же нет, то либо 
либо 
(не лежит на окружности 
В первом случае получаем точки 
и 
то есть всего две различных точки. Этот случай годится.
и точки z и 
симметричны относительно горизонтальной оси. Значит, она является серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку и потому центр любой окружности, проходящей через z и 
лежит на ней.
а 
отсюда видно, что при 
(а если 
Итак, центром окружности должна быть точка 1. Значит, радиус окружности равен 
— равносторонний и имеет углы по 
Это позволяет найти такие точки с точностью до двух вариантов
б) см. рис.; в) см. рис.; г) 
такими, что 
![[ минус 1;3].](https://urok.sdamgia.ru/formula/8b/8b5f2028f10aec5a1e4525df63531b55p.png)
Выясните, при каких значениях параметра a вероятность того, что выбираются числа, удовлетворяющие условию 
равна 0,5.
и 
то есть при ![x принадлежит [ минус 1;\3].](https://urok.sdamgia.ru/formula/c7/c7247dbe334b809152a0203f933ac348p.png)
то есть 
и отрицателен при 
и убывает при 
при всех ![x принадлежит [ минус 1;3],](https://urok.sdamgia.ru/formula/d4/d4694e22872e7b390aeb371c6e2b93e0p.png)
поскольку 
Поэтому неравенство 
равносильно условию ![y принадлежит [2;f(x)].](https://urok.sdamgia.ru/formula/3c/3c8ef9968bb105d0e64f90f9aeec6917p.png)
Мы уже почти все нужно для построения графика узнали, осталось только вычислить значение в точке максимума 
и исследовать выпуклость. Возьмем вторую производную:
равносильно тому, что y лежит на отрезке между a и 
но неизвестно, какой из концов меньший. Можно считать, что мы выбираем точку с координатами 
в квадрате ![[ минус 1;3]\times [ минус 1;3].](https://urok.sdamgia.ru/formula/51/518456bb4f83a2e0628a84c517baf3fap.png)
Площадь этого квадрата 16, поэтому площадь фигуры, описываемой условием 
площадь получается 
Если уменьшать a, то к площади будет добавляться прямоугольник с горизонтальной стороной 4. Нам надо добавить 
значит, его вертикальная сторона должна быть 
и 
Если же увеличивать a, то нам будут подходить некоторые точки области 
(см рисунок). Однако вся эта область - прямоугольник площади 4, поэтому его часть не может дать фигуру площади 8.
![[ минус 1;1]](https://urok.sdamgia.ru/formula/4b/4b62ff156cbad197d4d88891cce8bf86p.png)
функция возрастает; на ![[1;3]](https://urok.sdamgia.ru/formula/0f/0f02d5cb3841c6f7c172eba650457fd8p.png){kind=small}
— убывает; б) см. рис.; в) 
г) 
Решите уравнение 
делится без остатка на многочлен 
параллельна прямой 
имеет ровно два различных вещественных корня.
получаем уравнение 
с корнями 
на 
поэтому нужно, чтобы у исходного многочлена были такие же (или пропорциональные, но здесь все коэффициенты при x равны 1) множители. 
точно есть, значит
если она горизонтальна, то есть ее угловой коэффициент равен нулю. Значит, значение производной в точке 1 должно быть равно 0. Учитывая, что 
(и 
(и 
).
поэтому уравнение касательной будет 
то есть 
Значит, касательная — горизонтальная ось и она действительно параллельна прямой 
а не совпадает с ней.
имеет три корня, но один из них равен 2 и поэтому посторонний. Из пункта б мы знаем, что это происходит при 
Нетрудно видеть, что при этих a действительно все корни различны.
совпадают между собой. Есть три варианта
тогда корни 1 и 0 — годится.
тогда корни 1 и 
— годится.
б) 
в) 
г) 