Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 417

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция  f(x)=\log _2(x плюс 2) минус \log _2(x минус 1) .

а) Решите неравенство  f(x) больше 1 .

б) Решите уравнение  f(x)=\log _4(4x в степени (2) ) .

в) Выясните, какое из чисел ближе к единице —  f(3) или  f(5) .

г) Найдите множество значений функции  f(x) .

2.

2. Дана функция  f(x)=2 синус в степени (2) x минус синус 2x

 

а) Вычислите  f левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка .

б) Решите уравнение  f(x)=4 косинус в степени (2) x .

в) Найдите наименьшее значение функции  f(x) .

г) Найдите все положительные числа a такие, что выполнения неравенства  \left| x минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби | меньше a достаточно для выполнения неравенства  f(x) больше 0 .

3.

3А. Рассматриваются комплексные числа z и  z_1=2 минус z

а) Пусть  z=10 . Запишите в алгебраической форме все числа a такие, что  a в степени (3) =z_1 .

б) Изобразите на чертеже множество всех комплексных чисел z таких, что  (\overlinez минус z_1)(\overlinez минус z)=0 .

в) Пусть  |z|=1 . Изобразите на чертеже множество всех чисел  z_1 .

г) Пусть  |z|=1 . Найдите все числа z такие, что начало координат O и точки, соответствующие числам z,  z_1 и  \barz , лежат на одной окружности.

4.

3Б. Дана функция  f(x)= корень из x плюс 1 плюс корень из 3 минус x.

а) Найдите промежутки монотонности функции  f(x).

б) Изобразите на чертеже множество всех точек с координатами  (x;y) такими, что  (y минус f(x))(y минус 2)\leqslant 0.

в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции  f(x) и прямой  y=2.

г) Случайным образом выбираются числа x и y из отрезка  [ минус 1;3]. Выясните, при каких значениях параметра a вероятность того, что выбираются числа, удовлетворяющие условию  (y минус f(x))(y минус a)\leqslant 0, равна 0,5.

5.

Дана функция  f(x)=x в степени (3) плюс (a минус 1)x в степени (2) минус (2a в степени (2) плюс a)x плюс 2a в степени (2) ,  a принадлежит R .

а) Пусть  a=1. Решите уравнение  f(x)=0.

б) Найдите все значения параметра a такие, что многочлен  y=f(x) делится без остатка на многочлен  P(x)=x в степени (2) минус 3x плюс 2.

в) Найдите все значения параметра a такие, что касательная к графику функции  f(x) в его точке с абсциссой  x_0=1 параллельна прямой  y=1.

г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение  дробь: числитель: f(x), знаменатель: x минус 2 конец дроби =0 имеет ровно два различных вещественных корня.