Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 416

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 2

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция  f(x)=2 косинус x косинус в степени (2) левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

а) Решите уравнение  f(x)=0.

б) Решите неравенство  f(x)\leqslant 2 косинус x на интервале  левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

в) Найдите наибольшее значение функции  f(x).

г) Выясните, сколько корней имеет уравнение  дробь: числитель: f(x), знаменатель: b плюс косинус x конец дроби =0 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка в зависимости от параметра b.

2.

2. Дана функция  f(x)= дробь: числитель: 3 в степени (x плюс 1) плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби в степени (x) плюс 2.

а) Вычислите  f левая круглая скобка дробь: числитель: \log _54, знаменатель: \log конец дроби _{53} правая круглая скобка .

б) Решите уравнение  f(x)=2.

в) Найдите множество значений функции  f(x).

г) Постройте график функции  f(x) на луче  ( минус принадлежит fty ;0].

3.

3А. Дана функция  f(x)= корень из {x в степени (2) минус 2x плюс 9}.

а) Решите уравнение  f(x)=3 минус 2x.

б) Решите неравенство  дробь: числитель: 1, знаменатель: f(x) конец дроби \leqslant дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x минус 1 конец дроби .

в) Точка  M(1;3) является серединой отрезка с концами на графике функции  f(x). Найдите координаты концов отрезка

г) Найдите все значения параметра b такие, что функция  g(x)=f(x плюс b) является четной.

4.

3Б. Дана функция  f(x)=x в степени (3) плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби .

а) Найдите первообразную функции  f(x) на множестве  (0; плюс принадлежит fty ), график которой проходит через точку  A(1;2).

б) Постройте график функции  f(x).

в) Проверьте, является ли прямая l, заданная уравнением  y=11,25x минус 13, касательной к графику функции  f(x).

г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции  f(x), осью абсцисс и прямыми l и  x=0,5.

5.

3В. Дано комплексное число  b=1 минус i.

а) Изобразите на чертеже множество всех таких комплексных чисел z, что  |z минус b|=|b|.

б) Проверьте, являются ли числа b и  минус b корнями уравнения  3z в степени (4) плюс z в степени (3) минус z в степени (2) плюс 14=0.

в) Изобразите на чертеже множество K всех комплексных чисел z таких, что  \barb\barz минус bz=|b|i.

г) Найдите наименьшее значение выражения  |z плюс b| плюс |z минус b| для  z принадлежит K.