Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 415

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

Дана функция  f(x)=2 синус x косинус в степени (2) левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

а) Решите уравнение  f(x)=0.

б) Решите неравенство  f(x)\geqslant 2 синус x на интервале  ( минус Пи ; Пи ).

в) Найдите наименьшее значение функции  f(x).

г) Выясните, сколько корней имеет уравнение  дробь: числитель: f(x), знаменатель: синус x минус a конец дроби =0 на отрезке  левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка в зависимости от параметра a.

2.

2. Дана функция  f(x)= дробь: числитель: 2 в степени (x плюс 2) плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби в степени (x) плюс 1.

а) Вычислите  f левая круглая скобка дробь: числитель: \log _35, знаменатель: \log конец дроби _{32} правая круглая скобка .

б) Решите уравнение  f(x)=3.

в) Найдите множество значений функции  f(x).

г) Постройте график функции  f(x) на луче  ( минус принадлежит fty ;0].

3.

3А. Дана функция  f(x)= корень из {x в степени (2) минус x плюс 4}.

а) Решите уравнение  f(x)=2x.

б) Решите неравенство  дробь: числитель: f(x), знаменатель: 3x минус 2 конец дроби \geqslant 1.

в) Проверьте, является ли точка с координатами  (2,5;3) серединой какого-либо отрезка, концы которого лежат на графике функции  f(x).

г) Найдите все значения параметра a такие, что функция  g(x)=f(x минус a) является четной.

4.

3Б. Дана функция  f(x)= дробь: числитель: x в степени (2) , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: x конец дроби в степени (2) .

а) Найдите первообразную функции  f(x) на множестве  (0; плюс принадлежит fty ), график которой проходит через точку  A(1; минус 6).

б) Постройте график функции  f(x).

в) Проверьте, является ли прямая l, заданная уравнением  y= минус 15x плюс 23,5, касательной к графику функции  f(x).

г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции  f(x), осью абсцисс и прямыми l и  x=3.

5.

3В. Дано комплексное число  a=1 плюс i.

а) Изобразите на чертеже множество всех таких комплексных чисел z, что  |z плюс a|=|a|.

б) Проверьте, являются ли числа a и  минус a корнями уравнения  z в степени (4) минус 3z в степени (3) минус 3z в степени (2) плюс 10=0.

в) Изобразите на чертеже множество M всех комплексных чисел z таких, что  a\barz плюс \baraz=|a|.

г) Найдите наименьшее значение выражения  |z минус a| плюс |z плюс a| для  z принадлежит M.