Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 414

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1993 год, вариант 2

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция  f(x)= косинус x минус косинус 2x.

а) Докажите равенство  дробь: числитель: f(x), знаменатель: 2 косинус x плюс 1 конец дроби =1 минус косинус x.

б) Решите уравнение  f(x) минус синус x=0.

в) Найдите все решения неравенства  f(x) меньше 1 из отрезка  левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

г) Выясните, при каких значениях параметра a уравнение  f(x)=a имеет четыре корня на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

2.

2. Дана функция  f(x)= дробь: числитель: \log _3 дробь: числитель: x, знаменатель: 9 конец дроби умножить на \log , знаменатель: _ конец дроби {3(9x)}{\log _3 дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби }.

а) Решите уравнение  f(x)= дробь: числитель: 3\log _ корень из { 3}x, знаменатель: \log конец дроби _{ корень из { 3}x минус 2}.

б) Решите неравенство  f(x) больше 1,25.

в) Найдите промежутки монотонности функции  f(x).

г) Найдите множество значений функции  f(x) при  x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;3 правая круглая скобка .

3.

3А. Рассматриваются комплексные числа z,  z_1=\overlinez минус 2 и  u=z умножить на z_1.

а) Найдите все числа z такие, что  u=0.

б) Изобразите на чертеже множество всех таких чисел z, что вещественная и мнимая части числа  z_1 противоположны.

в) Изобразите на чертеже множество всех таких чисел z, что вещественная и мнимая части числа u равны.

г) Пусть  |z|=1. Найдите наибольшее значение  |u|.

4.

3Б. Дана функция  f(x)=2|x минус 4| минус (x плюс 1) в степени (2) .

а) Постройте график функции  f(x).

б) Найдите значение  принадлежит t\limits_2 в степени (4) f(x)dx.

в) Напишите уравнение прямой l, касающейся графика функции  f(x) в двух различных точках.

г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции  f(x) и прямой l.

5.

3В. Дана функция  f(x)=b корень из x минус 3 минус корень из 2x плюс 4.

а) Решите неравенство  f(x)\leqslant 0 при  b=1.

б) Решите уравнение  f(x) плюс 4=0 при  b=1.

в) Выясните, при каких значениях параметра b система уравнений  система выражений  новая строка y= минус f(x),  новая строка y= корень из x минус 3 минус b корень из 2x плюс 4 конец системы . имеет решения.

г) Выясните, при каких значениях параметра b неравенство  f(x)\geqslant 0 не имеет решений.