Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 413

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1993 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция  f(x)= косинус 2x минус синус x.

а) Докажите равенство  дробь: числитель: f(x), знаменатель: 1 минус 2 синус x конец дроби =1 плюс синус x.

б) Решите уравнение  f(x)= косинус x.

в) Найдите все решения неравенства  f(x) больше 1 из отрезка  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

г) Выясните, при каких значениях параметра a уравнение  f(x)=a имеет четыре корня на отрезке  [ минус Пи ;0].

2.

2. Дана функция  f(x)= дробь: числитель: \log _2 дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби умножить на \log , знаменатель: _ конец дроби {2(4x)}{\log _22x}.

а) Решите уравнение  f(x)= дробь: числитель: 3\log _0,25x, знаменатель: \log конец дроби _{0,25x минус 0,5}.

б) Решите неравенство  f(x) меньше 2,4.

в) Найдите промежутки монотонности функции  f(x).

г) Найдите множество значений функции  f(x) при  x принадлежит (0,5;2].

3.

3А. Рассматриваются комплексные числа z,  z_1=\overlinez плюс 2i и  u=z умножить на z_1.

а) Найдите все числа z такие, что  u=0.

б) Изобразите на чертеже множество всех таких чисел z, что вещественная и мнимая части числа  z_1 равны.

в) Изобразите на чертеже множество всех таких чисел z, что вещественная и мнимая части числа u равны.

г) Пусть  |z|=1. Найдите наименьшее значение  |u|.

4.

3Б. Дана функция  f(x)=x в степени (2) минус 2|x минус 4|.

а) Постройте график функции  f(x).

б) Найдите значение  принадлежит t\limits_3 в степени (5) f(x)dx.

в) Напишите уравнение прямой l, касающейся графика функции  f(x) в двух различных точках.

г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции  f(x) и прямой l.

5.

3В. Дана функция  f(x)= корень из 2x плюс 6 минус a корень из x минус 2.

а) Решите неравенство  f(x)\geqslant 0 при  a=1.

б) Решите уравнение  f(x)=4 при  a=1.

в) Выясните, при каких значениях параметра a система уравнений  система выражений  новая строка y=f(x),  новая строка y=a корень из 2x плюс 6 минус корень из x минус 2 конец системы . имеет решения.

г) Выясните, при каких значениях параметра a множество решений неравенства  f(x)\geqslant 0 будет лучом.