Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 412

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 2

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция f(x)= дробь: числитель: 1 минус 2 синус x, знаменатель: 1 плюс 2 синус x конец дроби .

а) Решите уравнение: f(x)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

б) Найдите все решения неравенства f(x)\geqslant 0 из отрезка  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

в) Докажите, что f(x)= тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на \ctg левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

г) Найдите множество значений функции f на отрезке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

2.

2. Дана функция: f(x)= логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4x минус x в степени 2 ).

а) Решите неравенство: f(x)\geqslant минус 1.

б) Решите уравнение: f(x)=2 логарифм по основанию 9 ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x минус 3 конец дроби ).

в) Найдите промежутки монотонности функции f.

г) Выясните, сколько корней имеет уравнение f(x)=a (в зависимости от а).

3.

3А. Дана функция f(x)= корень из x минус 1 минус x плюс 3.

а) Напишите уравнение касательной m к графику функции f в точке с абсциссой 2.

б) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f на отрезке [1; 5].

в) Постройте график функции f на отрезке [1; 7].

г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, касательной m и осью абсцисс.

4.

3Б. Даны числа z_0=1 плюс i корень из 3 и z_1=2.

а) Изобразите на чертеже множество K всех таких комплексных чисел z, что |z минус z_0|=1.

б) Изобразите на чертеже множество P всех таких комплексных чисел z, что |z минус z_0|=|z минус z_1|.

в) Найдите все числа, содержащиеся и в K , и в P.

г) Среди чисел, принадлежащих множеству K, найдите число с наибольшем модулем.

5.

3В. Дана функция f(x)=x в степени 3 минус x в степени 2 плюс (b в степени 2 минус 4)x минус (b плюс 2).

а) Решите уравнение f(x)=0 при b= минус 1.

б) Решите относительно b неравенство f(b)\leqslant 0.

в) Решите уравнение f(x)=0 при условии, что один из его корней равен -1.

г) Выясните, при каких значениях параметра b уравнение f(x)=a имеет единственный корень при любом a.