Готово, можно копировать.
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
Вариант № 411

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1.

1. Дана функция f(x)= дробь: числитель: корень из (3) плюс 2 косинус x, знаменатель: 2 косинус x минус корень из (3) конец дроби .

а) Решите уравнение: f(x)= минус 1.

б) Найдите все решения неравенства f(x) больше или равно 0 из отрезка  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

в) Докажите, что f(x)=\ctg левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на \ctg левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

г) Найдите множество значений функции f на отрезке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

2.

2. Дана функция: f(x)= логарифм по основанию 2 (4 минус x в квадрате ).

а) Решите неравенство: f(x) меньше или равно 0.

б) Решите уравнение: f(x)=2 логарифм по основанию 2 (7 минус 4x).

в) Найдите промежутки монотонности функции f.

г) Выясните, сколько корней имеет уравнение f(x)=a (в зависимости от а).

3.

3А. Дана функция f(x)=x минус корень из (x плюс 2) .

а) Напишите уравнение касательной l к графику функции f в точке с абсциссой 7.

б) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f на отрезке [ минус 2; 2].

в) Постройте график функции f на отрезке [ минус 2; 8].

г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, касательной l и осью абсцисс.

4.

3Б. Даны комплексные числа z_0=i и z_1= корень из (3) .

а) Изобразите на чертеже множество M всех таких комплексных чисел z, что |z минус z_0|=1.

б) Изобразите на чертеже множество K всех таких комплексных чисел z, что |z минус z_0|=|z минус z_1|.

в) Найдите все числа, содержащиеся и в K , и в M.

г) Среди чисел, принадлежащих множеству K, найдите число с наименьшим модулем.

5.

3В. Дана функция f(x)=x в кубе минус (a плюс 1)x в квадрате плюс (a в квадрате минус 3)x плюс 2.

а) Решите уравнение f(x)=0 при a=2.

б) Решите относительно a неравенство f(a) больше или равно 0.

в) Решите уравнение f(x)=0 при условии, что один из его корней равен 2.

г) Выясните, при каких значениях a уравнение f(x)=b имеет единственный корень при любом b.