Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)

Вариант № 411

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 1

Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.

1. Дана функция $f(x)= дробь: числитель: корень из 3 плюс 2 косинус x, знаменатель: 2 косинус x минус корень из 3 конец дроби .$

а) Решите уравнение: $f(x)= минус 1.$

б) Найдите все решения неравенства $f(x)\geqslant 0$ из отрезка $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

в) Докажите, что $f(x)=\ctg левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на \ctg левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

г) Найдите множество значений функции f на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)
выставляется одна из следующих оценок:
+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)
При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий Баллы

Верное и полное выполнение задания 3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет 2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка 1
Остальные случаи 0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

2. Дана функция: $f(x)= логарифм по основанию 2 (4 минус x в степени 2 ).$

а) Решите неравенство: $f(x)\leqslant 0.$

б) Решите уравнение: $f(x)=2 логарифм по основанию 2 (7 минус 4x).$

в) Найдите промежутки монотонности функции f.

г) Выясните, сколько корней имеет уравнение $f(x)=a$ (в зависимости от а).

Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

3А. Дана функция $f(x)=x минус корень из x плюс 2.$

а) Напишите уравнение касательной l к графику функции f в точке с абсциссой 7.

б) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f на отрезке $[ минус 2; 2].$

в) Постройте график функции f на отрезке $[ минус 2; 8].$

г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, касательной l и осью абсцисс.

Решение. а) Возьмем производную исходной функции.

$f'(x)=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x плюс 2 конец дроби умножить на (x плюс 2)'=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x плюс 2 конец дроби умножить на 1=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x плюс 2 конец дроби .$

При $x=7$ получаем $f'(x)=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 умножить на корень из 9 конец дроби =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби$ и $f(7)=7 минус корень из 9=4,$ поэтому уравнение касательной имеет вид:

$y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби (x минус 7) плюс 4 равносильно y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби x минус дробь: числитель: 35, знаменатель: 6 конец дроби плюс 4 равносильно y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби x минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби .$

б) Решим уравнение:

$1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x плюс 2 конец дроби =0 равносильно 2 корень из x плюс 2=1 равносильно корень из x плюс 2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x плюс 2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно x= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ясно, что при $x больше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби$ получим $корень из x плюс 2 больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x плюс 2 конец дроби меньше 1$ и $f'(x) больше 0,$ значит, $f(x)$ возрастает при $x больше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби$ и аналогично $f(x)$ убывает при $x принадлежит левая круглая скобка минус 2; минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка ,$ поэтому ее наименьшее значение это $f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби минус корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби ,$ а наибольшее либо $f( минус 2)= минус 2 минус корень из 0= минус 2,$ либо $f(2)=2 минус корень из 4=0.$ Получаем, что наибольшее значение $f(2)=0,$ а наименьшее $f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби .$

в) Продолжим исследовать функцию. Мы уже знаем, что она возрастает на $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби ; принадлежит fty правая круглая скобка$ и знаем, что $f(2)=0,$ поэтому других корней у нее нет. Она определена при всех $x принадлежит [ минус 2;8],$ непрерывна, асимптот не имеет. Осталось исследовать выпуклость:

$f''(x)=(1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x плюс 2 конец дроби )'=(1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (x плюс 2) в степени ( минус 1/2) )'=$
$= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на ( минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) умножить на (x плюс 2) в степени ( минус 3/2) умножить на (x плюс 2)'= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на (x плюс 2) в степени ( минус 3/2) умножить на 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на (x плюс 2) в степени ( минус 3/2) больше 0,$

поэтому функция выпукла вниз на всем промежутке. Так как $f(8)=8 минус корень из 10,$ значит, функция принимает все значения из промежутка $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби ; 8 минус корень из 10 правая квадратная скобка .$

г) Касательная пересекает ось в такой точке, где $y=0,$ то есть $дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби x минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби =0,$ откуда $x=2,2.$ Поскольку функция выпукла вниз, касательная лежит ниже графика функции. Значит, область ограничена сверху графиком функции, а снизу на промежутке $[2;2,2]$ осью абсцисс, а на промежутке $[2,2;7]$  — касательной. Опустим на ось перпендикуляр из точки $(7;4).$ Под касательной образуется прямоугольный треугольник с катетами 4 и $7 минус 2,2=4,8,$ поэтому его площадь равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 умножить на 4,8=9,6.$ Посчитаем теперь площадь под графиком функции и вычтем площадь треугольника.

$S= принадлежит t\limits_2 в степени (7) (x минус корень из x плюс 2)dx минус 9,6= принадлежит t\limits_2 в степени (7) (x минус (x плюс 2) в степени (1/2) )dx минус 9,6= \left. левая круглая скобка дробь: числитель: x в степени 2 , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: (x плюс 2) в степени (3/2) , знаменатель: 3/2 конец дроби правая круглая скобка |_2 в степени 7 минус 9,6=$
$= \left. левая круглая скобка дробь: числитель: x в степени 2 , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби (x плюс 2) в степени (3/2) правая круглая скобка |_2 в степени 7 минус 9,6= дробь: числитель: 49, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 9 в степени (3/2) минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 4 в степени (3/2) минус 9,6= 24 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 27 минус 2 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 8 минус 9,6=$
$= 24 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус 18 минус 2 плюс дробь: числитель: 16}3 минус 9,6= 4 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 5 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 9,6= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: {, знаменатель: 1 конец дроби 5 плюс 10 минус 18, знаменатель: 30 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 30 конец дроби$

Ответ: а) $y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби x минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби ,$ б) -2,25 и 0 в) см. рис., г) $дробь: числитель: 7, знаменатель: 30 конец дроби (ед. в степени 2 ).$

Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

3Б. Даны комплексные числа $z_0=i$ и $z_1= корень из 3.$

а) Изобразите на чертеже множество M всех таких комплексных чисел z, что $|z минус z_0|=1.$

б) Изобразите на чертеже множество K всех таких комплексных чисел z, что $|z минус z_0|=|z минус z_1|.$

в) Найдите все числа, содержащиеся и в K , и в M.

г) Среди чисел, принадлежащих множеству K, найдите число с наименьшим модулем.

Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

3В. Дана функция $f(x)=x в степени 3 минус (a плюс 1)x в степени 2 плюс (a в степени 2 минус 3)x плюс 2.$

а) Решите уравнение $f(x)=0$ при $a=2.$

б) Решите относительно a неравенство $f(a)\geqslant 0.$

в) Решите уравнение $f(x)=0$ при условии, что один из его корней равен 2.

г) Выясните, при каких значениях a уравнение $f(x)=b$ имеет единственный корень при любом b.

Решение. а) При $a=2$ получаем $x в степени 3 минус 3x в степени 2 плюс x плюс 2=0.$ У него можно угадать корень $x=2,$ поэтому левая часть раскладывается на множители, одним из которых будет $x минус 2.$ Получаем уравнение $(x минус 2)(x в степени 2 минус x минус 1)=0.$

Значит либо $x=2,$ либо $x в степени 2 минус x минус 1=0 равносильно x= дробь: числитель: 1\pm корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

б) Перепишем неравенство, подставив $x=a.$

$a в степени 3 минус (a плюс 1)a в степени 2 плюс (a в степени 2 минус 3)a плюс 2\geqslant 0 равносильно a в степени 3 минус a в степени 3 минус a в степени 2 плюс a в степени 3 минус 3a плюс 2\geqslant 0 равносильно a в степени 3 минус a в степени 2 минус 3a плюс 2\geqslant 0.$

У многочлена в левой части есть корень $a=2,$ поэтому левая часть раскладывается на множители, одним из которых будет $a минус 2.$ Получаем неравенство $(a минус 2)(a в степени 2 плюс a минус 1)\geqslant 0.$ Поэтому корнями уравнения $(a минус 2)(a в степени 2 плюс a минус 1)=0$ будут $a=2$ и $a= дробь: числитель: минус 1\pm корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби ,$ причем $дробь: числитель: минус 1 минус корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: минус 1 плюс корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше 2.$

Пользуясь методом интервалов, получаем ответ $a принадлежит [ дробь: числитель: минус 1 минус корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 1 плюс корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби ]\cup [2; принадлежит fty).$

в) Подставим $x=2$ в уравнение. Получим

$8 минус (a плюс 1) умножить на 4 плюс (a в степени 2 минус 3) умножить на 2 плюс 2=0 равносильно 8 минус 4a минус 4 плюс 2a в степени 2 минус 6 плюс 2=0 равносильно 2a в степени 2 минус 4a=0 равносильно 2a(a минус 2)=0 равносильно совокупность выражений a=0,a=2. конец совокупности$

Второй случай был разобран в пункте а). Если же $a=0,$ то получаем $x в степени 3 минус x в степени 2 минус 3x плюс 2=0.$ В пункте б) мы уже решали это уравнение (только переменная называлась по-другому), так что можно сразу написать ответ, при $a=2:$ $x=2,$ $x= дробь: числитель: 1\pm корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби ;$ при $a=0:$ $x=2,$ $x= дробь: числитель: минус 1\pm корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

г) Функция $f(x)$ при любом a представляет собой кубический многочлен. Поэтому она имеет промежутки монотонности. Если этих промежутков больше одного, то на двух соседних промежутках, где характер монотонности различен, она примет какое-то значение дважды. Значит, она должна всюду возрастать или всюду убывать. Значит, ее производная $f'(x)=3x в степени 2 минус 2(a плюс 1)x плюс a в степени 2 минус 3$ должна сохранять знак. Ясно, что она не может быть всюду неположительна. Значит, $3x в степени 2 минус 2(a плюс 1)x плюс a в степени 2 минус 3\geqslant 0.$ Для этого дискриминант полученного квадратного трехчлена должен быть неположительным.

$4(a плюс 1) в степени 2 минус 4 умножить на 3 умножить на (a в степени 2 минус 3)\leqslant 0 равносильно (a плюс 1) в степени 2 минус 3(a в степени 2 минус 3)\leqslant 0 равносильно$
$равносильно a в степени 2 плюс 2a плюс 1 минус 3a в степени 2 плюс 9\leqslant 0 равносильно минус 2a в степени 2 плюс 2a плюс 10\leqslant 0 равносильно a в степени 2 минус a минус 5\geqslant 0.$

Корнями уравнения $a в степени 2 минус a минус 5=0$ будут $a= дробь: числитель: 1\pm корень из 21, знаменатель: 2 конец дроби ,$ поэтому неравенство выполнено при $a\geqslant дробь: числитель: 1 плюс корень из 21, знаменатель: 2 конец дроби$ и при $a\leqslant дробь: числитель: 1 минус корень из 21, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $\left\2; дробь: числитель: 1\pm корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби \,$ б) $левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 1 минус корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 1 плюс корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup [2; плюс принадлежит fty),$ в) $\left\2; дробь: числитель: минус 1\pm корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби \$ при $a=0;$ $\left\2; дробь: числитель: 1\pm корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби \$ при $a=2,$ г) $a\leqslant дробь: числитель: 1 минус корень из 21, знаменатель: 2 конец дроби ;$ $a\geqslant дробь: числитель: 1 плюс корень из 21, знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1705	а) $\left\ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z \,$ б) $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка ,$ г) $[ минус 1;7 минус 4 корень из 3].$
2	1706	а) $( минус 2; минус корень из 3]\cup[ корень из 3; 2),$ б) {1}, в) На $( минус 2; 0]$ возрастает, на $[0; 2)$ убывает, г) Если $a меньше 2,$ то два корня; если $a=2,$ то один корень; если $a больше 2,$ то корней нет.
3	1707	а) $y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби x минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби ,$ б) -2,25 и 0 в) см. рис., г) $дробь: числитель: 7, знаменатель: 30 конец дроби (ед. в степени 2 ).$
4	1708	а) см. рис., б) см. рис., в) $дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби i,$ г) $дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби i.$
5	1709	а) $\left\2; дробь: числитель: 1\pm корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби \,$ б) $левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 1 минус корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 1 плюс корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup [2; плюс принадлежит fty),$ в) $\left\2; дробь: числитель: минус 1\pm корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби \$ при $a=0;$ $\left\2; дробь: числитель: 1\pm корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби \$ при $a=2,$ г) $a\leqslant дробь: числитель: 1 минус корень из 21, знаменатель: 2 конец дроби ;$ $a\geqslant дробь: числитель: 1 плюс корень из 21, знаменатель: 2 конец дроби .$

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 1

Ключ